§ 71. СЛОЖЕНИЕ ВРАЩЕНИЙ ВОКРУГ ПЕРЕСЕКАЮЩИХСЯ ОСЕЙ

1. Сложение угловых скоростей. Пусть относительное движение тела представляет собой вращение с угловой скоростью вокруг оси укрепленной на кривошипе 2 (рис. 205, а), а переносным является вращение кривошипа с угловой скоростью вокруг оси которая с осью ага пересекается в точке О. Схематически такой случай сложения вращений вокруг пересекающихся осей показан на рис. 205, б.

Очевидно, что в этом случае скорость точки О, как лежащей одновременно на обеих осях, будет равна нулю и результирующее движение тела является движением вокруг неподвижной точки О. Тогда тело имеет в данный момент времени угловую скорость , направленную по мгновенной оси вращения, проходящей через точку О (см. § 60).

Чтобы определить значение w, найдем скорость какой-нибудь точки М тела, радиус-вектор которой . В относительном движении (вращение вокруг оси ) точка М, согласно формуле (76), получит скорость в переносном же движении (вращение вокруг оси ОЬ) точка получит скорость Тогда абсолютная скорость точки М

Рис. 205

Но так как результирующее движение тела является мгновенным вращением с некоторой угловой скоростью то должно быть

Поскольку точка М — любая точка тела, полученные равенства должны выполняться при любом , что возможно лишь тогда, когда

Следовательно, при сложении вращений вокруг двух осей, пересекающихся в точке О, результирующее движение тела будет мгновенным вращением вокруг оси проходящей через точку О, и угловая скорость этого вращения будет равна геометрической сумме относительной и переносной угловых скоростей. Мгновенная ось направлена вдоль вектора со, т. е. по диагонали параллелограмма, построенного на векторах

С течением времени ось меняет свое положение, описывая коническую поверхность, вершина которой находится в точке О.

Если тело участвует в мгновенных вращениях вокруг нескольких осей, пересекающихся в точке О, то, последовательно применяя формулу (103), найдем, что результирующее движение будет мгновенным вращение вокруг оси, проходящей через точку О, с угловой скоростью

Задача Определить абсолютную угловую скорость со конического катка (см. задачу 72 в § 62), если радиус АС катка R, расстояние и скорость точки А известны (рис. 206).

Решение. Абсолютное движение катка является результатом его относительного вращения вокруг оси ОА с угловой скоростью и переносного вращения кривошипа ОА вокруг оси 08 с угловой скоростью при этом численно

Мгновенная ось вращения, а следовательно, и вектор абсолютной угловой скоростей направлены по линии ОС, так как скорость точки С равна нулю (см. задачу 72). Строя соответствующий параллелограмм, находим, что

Так как то окончательно

Другим путем этот результат можно получить (учитывая, что ОС — мгновенная ось вращения) из равенства где а.

Движение катка представляет собой серию элементарных поворотов с угловой скоростью вокруг оси ОС, которая непрерывно меняет свое положение, описывает круглый конус с вершинои в точке О

Рис. 206

2 Сложение угловых ускорений Рассмотрим случай, когда вращение тела вокруг двух пересекающихся осей происходит с угловыми ускорениями относительным и переносным. Найдем, каким будет тогда абсолютное угловое ускорение тела. Из равенства (103) получим

где относительная, а — переносная угловые скорости.

Рассуждая так же, как в § 66, и сохраняя ту же символику, представим предыдущий результат в виде

Здесь Значение определяется так же, как значение в § 66 и дается формулой (92) с заменой в ней на на Следовательно, Наконец, так как при относительном движении (на рис. 205 при вращении тела вокруг оси ) не изменяется, то . В результате равенство (105) дает окончательно

Формула (106) и определяет в случае сложения вращений вокруг пересекающихся осей абсолютное угловое ускорение тела.