§ 89. ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ ТОЧКИ

Введем понятие еще об одной основной динамической характеристике движения о кинетической энергии. Кинетической энергией материальной точки называется скалярная величина равная половине произведения массы точки на квадрат ее скорости.

Единица измерения кинетической энергии та же, что и работы (в СИ — 1 Дж). Найдем зависимость, которой связаны эти две величины.

Рассмотрим материальную точку с массой , перемещающуюся из положения , где она имеет скорость в положение , где ее скорость

Для получения искомой зависимости обратимся к выражающему основной закон динамики уравнению Проектируя обе его части на касательную к траектории точки М, направленную в сторону движения, получим

Входящее сюда касательное ускорение точки представим в виде

В результате найдем, что

Умножим обе части этого равенства на и внесем под знак дифференциала. Тогда, замечая, что где — элементарная работа силы получим выражение теоремы об изменении кинетической энергии точки в дифференциальной форме:

Проинтегрировав теперь обе части этого равенства в пределах, соответствующих значениям переменных в точках найдем окончательно

Уравнение (52) выражает теорему об изменении кинетической энергии точки в конечном виде: изменение кинетической энергии точки при некотором ее перемещении равно алгебраической сумме работ всех действующих на точку сил на том же перемещении.

Случай несвободного движения. При несвободном движении точки в правую часть равенства (52) войдет работа заданных (активных) сил и работа реакции связи. Ограничимся рассмотрением движения точки по неподвижной гладкой (лишенной трения) поверхности или кривой. В этом случае реакция N (см. рис. 233) будет направлена по нормали к траектории точки и . Тогда, согласно формуле (44), работа реакции неподвижной гладкой поверхности (или кривой) при любом перемещении точки будет равна нулю, и из уравнения (52) получим

Следовательно, при перемещении по неподвижной гладкой поверхности (или кривой) изменение кинетической энергии точки равно сумме работ на этом перемещении приложенных к точке активных сил.

Если поверхность (кривая) не является гладкой, то к работе активных сил прибавится работа силы трения (см. § 88). Если же поверхность (кривая) движется, то абсолютное перемещение точки М может не быть перпендикулярно N и тогда работа реакции N не будет равна нулю (например, работа реакции платформы лифта).

Решение задач. Теорема об изменении кинетической энергии [формула (52)] позволяет, зная как при движении точки изменяется ее скорость, определить работу действующих сил (первая задача динамики) или, зная работу действующих сил, определить, как изменяется при движении скорость точки (вторая задача динамики). При решении второй задачи, когда заданы силы, надо вычислить их работу. Как видно из формул (44), (44), это можно сделать лишь тогда, когда силы постоянны или зависят только от положения (координат) движущейся точки, как, например, силы упругости или тяготения (см. § 88).

Таким образом, формулу (52) можно непосредственно использовать для решения второй задачи динамики, когда в задаче в число данных и искомых величин входят: действующие силы, перемещение точки и ее начальная и конечная скорости (т. е. величины ), причем силы должны быть постоянными или зависящими только от положения (координат) точки.

Теорему в дифференциальной форме [формула (51)] можно, конечно, применять при любых действующих силах.

Рис. 235

Задача 98. Груз массой кг, брошенный со скоростью из пункта А, находящегося на высоте (рис. 235), имеет в точке падения С скорость Определить, чему равна работа действующей на груз при его движении силы сопротивления воздуха

Решение. На груз при его движении действуют сила тяжести Р и сила сопротивления воздуха R. По теореме об изменении кинетической энергии, считая груз материальной точкой, имеем

Из этого равенства, так как согласно формуле находим

Задача 99. При условиях задачи 96 (см.[§ 84) определить, какой путь пройдет груз до остановки (см. рис, 223, где — начальное положение груза, а — конечное).

Решение. На груз, как и в задаче 96, действуют силы Р, N, F. Для определения тормозного пути учитывая, что в условия данной задачи входят и постоянная сила F, воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии

В рассматриваемом случае — скорость груза в момент остановки). Кроме того, так как силы Р и N перпендикулярны перемещению, В итоге получаем откуда находим

По результатам задачи 96 время торможения растет пропорционально начальной скорости, а тормозной путь, как мы нашли, — пропорционально квадрату начальной скорости. Применительно к наземному транспорту это показывает, как возрастает опасность с увеличением скорости движения.

Задача 100. Груз весом Р подвешен на нити длиной l Нить вместе с грузом отклоняют от вертикали на угол (рис. 236, а) и отпускают без начальной скорости. При движении на груз действует сила сопротивления R, которую приближенно заменяем ее средним значением Найти скорость груза в тот момент времени, когда нить образует с вертикалью угол

Решение. Учитывая условия задачи, воспользуемся опять теоремой (52):

На груз действуют сила тяжести Р, реакция нити сопротивления, представленная ее средним значением R. Для силы Р по формуле (47) для силы N, так как получим наконец, для силы так как по формуле (45) будет (длина s дуги равна произведению радиуса l на центральный угол ). Кроме того, по условиям задачи В результате равенство (а) дает:

При отсутствии сопротивления получаем отсюда известную формулу Галилея справедливую, очевидно, и для скорости свободно падающего груза (рис, 236, б).

Рис. 236

Рис. 237

В рассматриваемой задаче Тогда, введя еще обозначение — средняя сила сопротивления, приходящаяся на единицу веса груза), получаем окончательно

Задача 101. Пружина клапана имеет в недеформироваином состоянии длину см. При полностью открытом клапане ее длина см, а высота подъема клапана см (рис. 237). Жесткость пружины масса клапана кг. Пренебрегая действием силы тяжести и сил сопротивления, определить скорость клапана в момент его закрытая.

Решение, Воспользуемся уравнением

По условиям задачи работу совершает только сила упругости пружины. Тогда по формуле (48) будет

В данном случае

Кроме того, Подставляя все эти значения в уравнение (а), получим окончательно

Задача 102. Груз, лежащий на середине упругой балки (рис. 238), прогибает ее на величину (статистический прогиб балки) Пренебрегая весом балки, определить, чему будет равен ее максимальный прогиб если груз упадет на балку с высоты Н.

Решение. Как и в предыдущей задаче, воспользуемся для решения уравнением (52). В данном случае начальная скорость груза и конечная его скорость (В момент максимального прогиба балки) равны нулю и уравнение (52) принимает вид

Работу здесь совершают сила тяжести Р на перемещении и сила упругости балки F на перемещении При этом так как для балкн Подставляя эти величины в равенство (а), получим

Но при равновесии груза на балке сила тяжести уравновешивается силой упругости, следовательно, и предыдущее равенство можно представить в виде

Решая это квадратное уравнение и учитывая, что по условиям задачи должно быть находим

Интересно отметить, что при получается Следовательно, если груз положить на середину горизонтальной балки, то ее максимальный прогиб при опускании груза будет равен удвоенному статическому. В дальнейшем груз начнет вместе с балкой совершать колебания около равновесного положения. Под влиянием сопротивлений эти колебания затухнут и система уравновесится в положении, при котором прогиб балки равен

Рис. 238

Рис. 239

Задача 103. Определить, наименьшую направленную вертикально виерх начальную скорость надо сообщить телу, чтобы оно поднялось с поверхности Земли на заданную высоту Н (рис 239) Силу притяжения считать изменяющейся обратно пропорционально квадрату расстояния от центра Земли. Сопротивлением воздуха пренебречь.

Решение. Рассматривая тело как материальную точку с массой , воспользуемся уравнением

Работу здесь совершает сила тяготения F. Тогда по формуле (50), учитывая, что в данном случае где R — радиус Земли, получим

Так как в наивысшей точке то при найденном значении работы уравнение (а) дает

Рассмотрим частные случай:

а) пусть Н очень мало по сравнению с R. Тогда — величина, близкая к нулю. Деля числитель и знаменатель получим

Таким образом, при малых Н приходим к формуле Галилея;

б) найдем, при какой начальной скорости брошенное тело уйдет в бесконечность, Деля числитель и знаменатель на А, получим

При считая средний радиус Зели км, находим

Следовательно, тело, брошенное с поверхности Земли со скоростью навсегда покинет поле земного тяготения. Скорость, определяемая равенством (б), называется второй космической скоростью.

Можно доказать (см. гл. XX), что при начальных скоростях, лежащих приблизительно в пределах тело, брошенное по направлению касательной к земной поверхности, не упадет обратно на Землю, а превратится в земного спутника. При начальных скоростях, меньших или при негоризонтальном бросании тело, описав эллиптическую траекторию, упадет обратно на Землю. Все эти результаты относятся к движению в безвоздушном пространстве.

Рис. 240

Задача 104. Определить, пренебрегая трением, какую постоянную силу Q надо приложить к поршню 1 (площадь поршня S, начальная скорость ), чтобы сжать газ, находящийся в цилиндре 2, до давления если начальное давление равно (рис. 240). Считать, что при сжатии давление газа растет обратно пропорционально его объему V (сжатие происходит медленно, процесс изотермический).

Решение. На поршень действуют сила Q и сила давления газа Р. Так как у поршня то по теореме об изменении кинетической энергии

Направим ось в сторону движения поршня, считая, что при давление Обозначим через начальное расстояние поршня от дна цилиндра, а через — перемещение поршия до положения, при котором и давление

Так как численно то по формуле (44)

Зависимость от найдем из условия, что давление обратно пропорционально объему, т. е. где начальный объем а объем в произвольном положении Тогда для , а талсже для координаты при которой получим выражения:

Учтя эти зависимости, найдем из равенства (б)

Далее, так как , получим с учетом соотношений (в)

При иайдеиных значениях работ равенстве (а) дает окончательно

Если полагая приближенно получим

Сила Q с увеличением растет на логарифмическому закону, т. е. довольно медленно. Например, при а при