§ 138. ВОЗМОЖНЫЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЯ СИСТЕМЫ. ЧИСЛО СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ

Эффект механических связей можно, учитывать, не только вводя их реакции, как это до сих пор делалось, но и рассматривая те перемещения, которые точки механической системы могут иметь при наложенных на нее связях. Такой путь позволяет сразу получать уравнения равновесия или движения системы, не содержащие наперед неизвестных реакций связей, что существенно облегчает решение многих задач механики.

Перемещения, о которых сказано выше, называют возможными (или виртуальными) перемещениями. Они должны удовлетворять двум условиям: 1) быть элементарными, так как при конечном перемещении система может прийти в положение, где эффект наложенных связей будет другим; 2) быть такими, чтобы все наложенные в данный момент времени на систему связи сохранялись, иначе может измениться вид рассматриваемой механической системы.

Например, в кривошипно-ползунном механизме, изображенном ниже на рис. 356 (см. § 140), перемещение из показанного положения в положение, при котором нельзя рассматривать как возможное, так как при эффект наложенных связей будет другим, что, в частности, изменит условие равновесия механизма под действием силы Р и пары с моментом М. Точно так же нельзя считать возможным даже элементарное перемещение точки В шатуна вдоль линии оно было бы возможным, если в точке В вместо ползуна была бы качающаяся муфта (рис. 161 в § 57, муфта С), т. е. когда механизм был бы другим.

Таким образом, возможным перемещением механической системы будем называть любую совокупность элементарных перемещений точек этой системы из занимаемого в данный момент времени положения, которые допускаются всеми наложенными на систему связями. При этом под допускаемыми в случае неудерживающих связей будем понимать те возможные перемещения, при которых связи сохраняются (точки системы от связей не «освобождаются»).

В дальнейшем следует различать действительное перемещение движущейся точки, которое она совершает за элементарный промежуток времени и возможное перемещение, которого точка не совершает, а только могла бы совершить, не нарушая наложенных на нее в данный момент времени связей.

Чтобы учесть это различие, будем возможное перемещение точки обозначать символом и изображать соответствующим элементарным вектором. При этом будет обозначать модуль — проекции на координатные оси; эти проекции равны элементарным приращениям координат точки при ее возможном перемещении и формально вычисляются так же, как дифференциалы.

Отметим, что при стационарных связях действительное перемещение любой точки системы, которое тоже должно допускаться наложенными связями, совпадает с одним из возможных перемещений . При нестационарных связях ни с одним из возможных перемещений не совпадает.

Поясним это на приведенном в § 137 примере нестационарной связи (груз в лифте, см. рис. 271, а). Здесь для груза направлено вдоль АВ, а слагается из перемещения вдоль АВ и перемещения вместе с лифтом, равного — скорость лифта) и направленного перпендикулярно АВ; следовательно, образует с АВ какой-то угол и ни с одним из совпасть не может.

В общем случае механическая система может иметь множество различных возможных перемещений. Однако для любой из систем, которые нами будут рассматриваться, можно указать некоторое число таких независимых между собой перемещений, что всякое другое возможное перемещение может быть через них выражено. Например, для точки, находящейся на какой-нибудь плоскости (поверхности), любое возможное перемещение вдоль этой плоскости можно выразить через два взаимно перпендикулярных перемещения в виде где а и b — любые положительные или отрицательные числа.

Число независимых между собой возможных перемещений механической системы называются числом степеней свободы этой системы.

Следовательно, точка, находящаяся на плоскости, имеет две степени свободы; одновременно ее положение на плоскости определяется двумя независимыми координатами (координатами, каждая из которых может изменяться независимо от другой), например координатами х и у. Свободная материальная точка имеет три степени свободы (независимыми будут три возможных перемещения вдоль трех взаимно перпендикулярных осей); одновременно положение точки определяется тремя независимыми координатами х, у, z и т. д.

Этот результат оказывается общим, т. е. у механической системы с геометрическими связями число независимых координат, определающих положение системы, совпадает с числом ее степеней свободы.

Поэтому у такой системы число степеней свободы можно определять как по числу независимых возможных перемещений, так и по числу независимых координат. Так, у кривошипно-ползунного механизма (см. ниже рис, 356) одна степень свободы (у него одно независимое возможное перемещение, например поворот кривошипа ОА, и одна независимая координата, например уголф). У свободного твердого тела шесть степеней свободы (независимых перемещений — три поступательных вдоль координатных осей и три поворота вокруг этих осей, а независимых координат — три координаты полюса и три угла Эйлера).