Глава V. ПЛОСКАЯ СИСТЕМА СИЛ

§ 14. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ МОМЕНТЫ СИЛЫ И ПАРЫ

Переходя к рассмотрению плоской системы сил (системы сил, как угодно расположенных в одной плоскости), начнем с введения некоторых понятий.

1. Алгебраический момент силы относительно центра. Когда все силы системы лежат в одной плоскости, их моменты относительно любого центра О, находящегося в той же плоскости, перпендикулярны этой плоскости, т. е. направлены вдоль одной и той же прямой. Тогда, не прибегая к векторной символике, можно направления этих моментов отличить одно от другого знаком и рассматривать момент силы F относительно центра О как алгебраическую величину. Условимся для краткости такой момент называть алгебраическим и обозначать символом Алгебраический момент силы F относительно центра О равен взятому с соответствующим знаком произведению модуля силы на ее плечо, т. е.

При этом в правой системе координат, принятой в механике, момент считается положительным, когда сила стремится повернуть тело вокруг центра О против хода часовой стрелки, и отрицательным — когда по ходу часовой стрелки.

Так, для сил, изображенных на рис. 42: .

Заметим, что полученные выше формулы (22) и (24), содержащие суммы моментов-векторов, сохранят свой вид и для алгебраических моментов, но суммы при этом будут не векторные, а алгебраические.

Рис. 42

Рис. 43

Пример. Найти моменты сил F и Q относительно точки А (рис. 43), если и углы известны.

Решение. Опустив из точки А перпендикуляр на линию действия силы F, найдем плечо ; тогда с учетом знака .

Для силы Q проще не находить плечо, а разложить Q на составляющие для которых плечн будут соответственно равны а затем воспользоваться формулой (24), т. е. теоремой Вариньона. Тогда с учетом знаков: Но и окончат тельно

Выражение в скобках и является плечом силы Q, что не сразу видно.

Рис. 44

Заметим, что можно тоже найти, разложив силу F на составляющие Тогда так как

2. Алгебраический момент пары. Поскольку момент пары сил равен моменту одной из ее сил относительно точки приложения другой силы [формула (15)], то для пар, лежащих в одной плоскости, момент пары можно тоже рассматривать как алгебраическую величину, называть алгебраическим и условиться обозначать символом (или М). При этом алгебраический момент пары равен взятому с соответствующим знаком произведению модуля одной из сил пары на плечо пары:

Правило знаков здесь такое же, как для момента силы. Так, для изображенной на рис. 44, а пары F, F момент а для момент Поскольку пара сил характеризуется только ее моментом, то на рисунках пару изображают часто просто дуговой стрелкой, показывающей направление поворота пары (как на рис. 44, б).

Полученные выше формулы (16) и (17), содержащие суммы моментов-векторов, тоже сохранят вид для алгебраических моментов, причем суммы будут алгебраическими.

Задача 12. Криволинейный рычаг ABCD (рис. 45) находится в равновесия под действием двух параллельных сил Р и Р, образующих пару. Определить силы давления на опоры, если .

Рис. 45

Рис. 46

Решение. Заменим пару Р, Р эквивалентной ей парой Q, Q, силы которой направлены по направлениям реакций опор. При этом моменты пар должны быть одинаковы, т. е.

Следовательно, силы давления на опоры численно равны

я направлены так, как показано на чертеже.

Задача 13. На шестерню радиуса гг действует пара сил с моментом (рис. 46, а). Определить момент пары, которую надо приложить к шестерне 2 радиуса чтобы сохранить равновесие.

Решение. Рассмотрим сначала условия равновесия шестерни 1. На нее действует пара с моментом которая может быть уравновешена только действием другой пары, в данном случае пары Здесь — перпендикулярная радиусу составляющая силы давления на зуб со стороны шестерни тоже перпендикулярная радиусу составляющая реакции оси А (сила давления на зуб и реакция оси А имеют еще составляющие вдоль радиуса, которые взаимно уравновешиваются и в условие равновесия не войдут). При этом, согласно условию равновесия (17),

Теперь рассмотрим условия равновесия шестерни 2 (рис. 46, б). По закону равенства действия и противодействия на нее со стороны шестерни 1 будет действовать сила которая с перпендикулярной радиусу составляющей реакции оси В образует пару с моментом, равным — Эта пара и должна уравновеситься приложенной к шестерне 2 парой с моментом следовательно, по условию равновесия (17), Отсюда, так как находим

Естественно, что пары с моментами не удовлетворяют условию равновесия (17), так как они приложены к разным телам.

Полученная в процессе решения задачи величина называется окружным усилием, действующим на шестерню. Как видим, окружное усилие равно моменту вращающей пары, деленному на радиус шестерни: