§ 120. УСЛОВИЯ РАВНОВЕСИЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ

Представим уравнения (16) из § 107 и (35) или (38) в виде:

Покажем, что из этих уравнений, являющихся следствиями законов, изложенных в § 74, получаются все исходные результаты статики.

1. Если механическая система находится в покое, то скорости всех ее точек равны нулю и, следовательно, где О — любая точка. Тогда уравнения (40) дают:

Таким образом, условия (40) являются необходимыми условиями равновесия любой механической системы. Этот результат содержит в себе, в частности, сформулированный в § 2 принцип отвердевания.

Но для любой системы условия (40), очевидно, достаточными условиями равновесия не являются. Например, если изображенные на рис. 274 точки и являются свободными, то под действием сил они могут двигаться навстречу друг другу, хотя условия (40) для этих сил будут выполняться.

Необходимые и достаточные условия равновесия механической системы будут изложены в § 139 и 144.

2. Докажем, что условия (40) являются не только необходимыми, но и достаточными условиями равновесия для сил, действующих на абсолютно твердое тело. Пусть на свободное твердое тело, находящееся в покое, начинает действовать система сил, удовлетворяющая условиям (40), где О любая точка, т. е., в частности, и точка С. Тогда уравнения (40) дают , а так как тело вначале было в покое, то При точка С неподвижна и тело может иметь только вращение с угловой скоростью со вокруг некоторой мгновенной оси (см. § 60). Тогда по формуле (33) у тела будет . Но есть проекция вектора на ось , а так как то и откуда следует, что и т. е. что при выполнении условий (40) тело остается в покое.

3. Из предыдущих результатов вытекают, в частности, исходные положения 1 и 2, сформулированные в § 2, так как очевидно, что две силы, изображенные на рис. 2, удовлетворяют условиям (40) и являются уравновешенными и что если к действующим на тело силам прибавить (или от них отнять) уравновешенную систему сил, т. е. удовлетворяющую условиям (40), то ни эти условия, ни уравнения (40), определяющие движение тела, не изменятся.