Глава XXVI. ПРИЛОЖЕНИЕ ОБЩИХ ТЕОРЕМ К ДИНАМИКЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА

§ 128. ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА ВОКРУГ НЕПОДВИЖНОЙ ОСИ

Рассмотрим приложения общих теорем динамики к задачам о движении абсолютно твердого тела. Так как изучение поступательного движения твердого тела сводится к задачам динамики точки, то начнем с рассмотрения вращательного движения вокруг неподвижной оси.

Пусть на твердое тело, имеющее неподвижную ось вращения (рис. 321), действует система заданных сил Одновременно на тело действуют реакции подшипников RA и Чтобы исключить из уравнения движения эти наперед не известные силы, воспользуемся теоремой моментов относительно оси z (см. § 116). Так как моменты сил RA и RB относительно оси z равны нулю, то получим

Рис. 321

Будем в дальнейшем величину называть вращающим моментом.

Подставляя в предыдущее равенство значение найдем

Уравнение (66) представляет собой дифференциальное уравнение вращательного движения твердого тела. Из него следует, что произведение момента инерции тела относительно оси вращения на угловое ускорение равно вращающемуся моменту:

Равенство (66) показывает, что при данном чем больше момент инерции тела, тем меньше угловое ускорение, и наоборот.

Следовательно, момент инерции тела действительно играет при вращательном движении такую же роль, как масса при поступательном, т. е. является мерой инертности тела при вращательном движении (см. § 102).

Уравнение (66) позволяет: 1) зная закон вращения тела, т. е. найти вращающий момент зная вращающий момент найти , т. е. закон вращения тела, или найти его угловую скорость . При решении второй задачи следует иметь в виду, что в общем случае величина может быть переменной и зависеть от

Вместо уравнения (66) для изучения вращательного движения можно также пользоваться теоремой об изменении кинетической энергии: где Т и определяются по формулам (43) и (47).

Отметим следующие частные случаи:

1) если то , т. е. тело вращается равномерно;

2) если то , т. е. тело вращается равнопеременно.

Уравнение (66) по своему виду аналогично дифференциальному уравнению прямолинейного движения точки (см. § 77). Поэтому имеется аналогия и между самими названными движениями, и все результаты, получаемые для прямолинейного движения точки, будут справедливы и для вращательного движения твердого тела, если в них заменить соответственно силу F, массу , координату скорость v и ускорение а точки на вращающий момент момент инерции угол поворота угловую скорость и угловое ускорение в вращающегося тела.

При решении задач уравнением (66) целесообразно пользоваться тогда, когда система состоит только из одного вращающегося тела. Если в системе кроме одного вращающегося тела есть еще другие движущиеся тела (см., например, задачи 134, 140 и т. д.), то уравнение движения лучше составлять с помощью общих теорем или методов, изложенных в § 141 и 145.

В задачах, аналогичных задаче 134, следует иметь в виду, что на барабан действует не сила Q, а натяжение веревки F, не равное Q, и уравнение (66) для барабана имеет вид . Для его решения надо дополнительно определить силу F, составив уравнение движения груза А, что удлиняет расчет.

Задача 149. Колесо массой вращается вокруг оси О с угловой скоростью (рис. 322). В некоторый момент времени к колесу прижимается тормозная колодка с силой Q. Коэффициент трения колодки о колесо f, радиус колеса . Пренебрегая трением в оси и массой спиц, определить, через сколько секунд колесо остановится.

Решение. Составляя уравнение (66) и считая момент положительным, когда он направлен в сторону вращения колеса, получаем

так как сила трения . Отсюда, интегрируя, находим

По начальным данным, при следовательно, и окончательно

В момент остановки, когда . Подставляя значение в уравнение (б) и учитывая, что для обода (кольца) , получим

Если понадобится найти число оборотов, сделанных колесом до остановки, то это проще сделать, не интегрируя еще раз уравнение (б), а применив теорему об изменении кинетической энергии.

Рис. 322

Рис. 323

Задача 150. Вертикальный цилиндрический ротор, момент инерции которого относительно оси равен (рис. 323), приводится во вращение приложенным к нему моментом . Найти, как изменяется при движении угловая скорость ротора если , а момент сил сопротивления воздуха пропорционален

Решение. Дифференциальное уравнение (66) для вращающегося ротора имеет вид (считаем положительными моменты, направленные в сторону вращения)

Разделяя переменные и полагая возьмем от обеих частей равенства соответствующие определенные интегралы, получим

Отсюда

Окончательно найдем, что

Угловая скорость ротора со временем возрастает, стремясь к предельному значению:

Согласно отмеченной выше аналогии эти результаты дают одновременно решение задачи о прямолинейном движении точки с массой под действием силы f = const и силы сопротивления

При этом для скорости v точки по аналогии с равенствами (а) и (б) получится