§ 130. ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА

Положение тела, совершающего плоскопараллельное движение, определяется в любой момент времени положением полюса и углом поворота вокруг полюса (см. § 52). Задачи динамики будут решаться проще всего, если за полюс принять центр масс С тела (рис. 327) и определять положение тела координатами и углом

На рис. 327 изображено сечение тела плоскостью, параллельной плоскости движения и проходящей через центр масс С. Пусть на тело действуют внешние силы лежащие в плоскости этого сечения. Тогда уравнения движения точки С найдем по теореме о движении центра масс

а вращательное движение вокруг центра С будет определяться уравнением (66), так как теорема, из которой получено это уравнение, справедлива и для движения системы вокруг центра масс. В результате, проектируя обе части равенства (70) на координатные оси, получим:

или

Уравнения (71) представляют собой дифференциальные уравнения плоскопараллельного движения твердого тела. С их помощью можно по заданным силам определить закон движения тела или, зная закон движения тела, найти главный вектор и главный момент действующих сил.

При несвободном движении, когда траектория центра масс известна, уравнения движения точки С удобнее составлять в проекциях на касательную и главную нормаль к этой траектории. Тогда вместо системы (71) получим:

где — радиус кривизны траектории центра масс.

Рис. 327

Заметим, что если движение является несвободным, то в правые части уравнений (71) или (72) войдут еще неизвестные реакции связей. Для их определения надо будет составить дополнительные уравнения, отражающие те условия, которые налагаются на движение тела связями (см. задачу 151 и др.). Часто уравнения несвободного движения будут составляться проще с помощью теоремы об изменении кинетической энергии, которой можно воспользоваться вместо одного из уравнений (71) или (72).

Задача 151. Сплошной однородный круговой цилиндр скатывается по наклонной плоскости с углом наклона а (рис. 328). Определить ускорение центра цилиндра и наименьший коэффициент трения цилиндра о плоскость, при котором возможно качение без скольжения, в двух случаях: 1) пренебрегая сопротивлением качению; 2 учитывая сопротивление качению (коэффициент трения качения k и радиус цилиндра R известны).

Решение. 1. Изображаем действующие на цилиндр силы; силу тяжести наименьшую силу трения F, при которой возможно качение без скольжения, реакцию N плоскости, приложенную, когда сопротивление качению не учитывается, в точке касания.

Направим ось вдоль наклонной плоскости, а ось Оу — перпендикулярно ей.

Так как вдоль оси центр масс цилиндра не перемещается, то и первое из уравнений (71) дает

Составляя другие два уравнения системы (71), учтем, что и будем считать момент положительным, когда он направлен в сторону вращения цилиндра. Получим:

Уравнения (а) содержат три неизвестные величины ей F (здесь нельзя считать так как это равенство имеет место, когда точка касания скользит вдоль плоскости, а при отсутствии скольжения может быть см. § 23). Дополнительную зависимость между нризвестными величинами найдем, учитывая, что при качении откуда, дифференцируя, получим Тогда второе из равенств (а), если учесть, что для сплошного цилиндра примет вид

Рис. 328

Подставляя это значение F в первое из равенств (а), получим

Теперь находим из выражения (б)

Такая сила трения должна действовать на катящийся цилиндр, чтобы он катился без скольжения. Выше было указано, что Следовательно, чистое качение будет происходить, когда

Если коэффициент треиия будет меньше этой величины, то сила F не может принять значения, определяемого равенством (), и цилиндр будет катиться с проскальзыванием. В этом случае не связаны зависимостью (точка касания не является мгновенным центром скоростей), но зато величина F имеет предельное значение, т. е. а, и уравнения (а) принимают вид:

откуда

Центр цилиндра в этом случае движется с ускорением а сам цилиндр вращается с угловым ускорением , значения которых определяются равенствами

2. При учете сопротивления качению реакция N будет смещена в сторону движения на величину k (расположена так, как на рис. 308, б) и ее момент относительно центра С будет равен Тогда второе из уравнений (а) примет вид

Остальные уравнения сохраняют свой вид, т. е. будет по-прежнему

Из уравнений учитывая, что и в данном случае наймем окончательно:

После этого из неравенства получим, что f должно иметь для обеспечения качения без скольжения значение

Задача 152. По шероховатой цилиндрической поверхности радиуса R (рис. 329) из положения, определяемого углом начинает катиться без скольжения сплошной однородный цилиндр радиусом . Пренебрегая сопротивлением качению, определить закон движения центра цилиндра, когда угол мал. Найти также, при каких значениях возможно качение без скольжения, если коэффициент трения цилиндра о поверхность

Рис. 329

Решение. Рассмотрим цилиндр при его качении вниз (движение происходит в вертикальной плоскости). В положении, определяемом углом на цилиндр действуют сила тяжести сила трения скольжения F и реакция

Проведя касательную к траектории центра С (в сторону движения этого центра) и учтя, что для цилиндра составим первое и третье из уравнений в виде:

где — угловая скорость цилиндра.

Выразим все скорости через . Одновременно учтем, что в точке К. находится мгновенный центр скоростей. Тогда, поскольку при качении цилиндра вниз убывает и будет:

При этих значениях и уравнения (а) примут вид:

Исключая из равенств (б) силу F, найдем окончательно следующее дифференциальное уравнение, определяющее движение центра С:

Поскольку очевидно, что при движении цилиндра то, когда угол мал, можно приближенно принять . Тогда получим известное дифференциальное уравнение гармонических колебаний

В данной задаче при Интегрируя уравнения (в) при этих: начальных условиях, найдем следующий закон малых колебаний цилиндра:

Период этих колебаний

В заключение найдем условие качения без скольжения, учитывая, что (см. § 23). Значение F дает второе из равенств (б):

Но согласно уравнению (в) и так как то окончательно

Теперь заметим, что при малом часть цилиндрической поверхности, по которой катается цилиндр, можно рассматривать как часть горизонтальной плоскости и считать приближенно Тогда неравенство дает Так как наибольшее значение равно то при рассматриваемых малых колебаниях качение цилиндра будет происходить без скольжения, когда

Задача 153. Тело весом Р опирается в точке В на пьезоэлектрический датчик прибора, измеряющего силу давления, а в точке А поддерживается нитью AD (рис. 330). При равновесии линия АС горизонтальна, а давление в точке В равно Вычислить, чему равен момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс С, если в момент, когда нить пережигают, давление в точке В становится равным Расстояние l известно.

Решение. 1. В положении равновесия Отсюда находим

2. Когда нить пережигают, тело начинает двигаться плоскопараллельно. Для начального элементарного промежутка времени изменением положения тела можно пренебречь. Тогда уравнения (71), справедливые только для этого промежутка времени, будут иметь вид:

Так как то точка С начинает перемещаться по вертикали вниз, а точка В скользит горизонтально (трение в опоре считаем малым). Восставляя перпендикуляры к направлениям этих перемещений, находим, что мгновенный центр скоростей будет в точке К? Следовательно, Дифференцируя это равенство и считая в течение рассматриваемого элементарного промежутка времени , получим Тогда первое из уравнений (а) дает

Определяя отсюда , найдем окончательно

Полученный результат можно использовать для экспериментального определения моментов инерции.

Рис. 330

Рис. 331

Задача 154. Вес автомобиля с колесами равен Р (рис. 331); вес каждого из четырех его колес равен , радиус , радиус инерции относительно оси

К задним (ведущим) колесам приложен вращающийся момент . Автомобиль, начиная движение из состояния покоя, испытывает сопротивление воздуха, пропорциональное квадрату его поступательной скорости: . Момент трепня в оси каждого колеса . Пренебрегая сопротивлением качению, определить: 1) предельную скорость автомобиля; 2) силу трения скольжения, действующую на ведущие и ведомые колеса при движении.

Решение. 1. Для определения предельной скорости составим дифференциальное уравнение движения автомобиля, пользуясь равенством (49)

Кинетическая энергия автомобиля равна энергии кузова и колес. Учитывая, что Р — вес всего автомобиля, (так как скорость центра С колеса равна скорости у кузова), получим

где полагалось, что — угловая скорость колеса.

Из внешних сил работу совершает только сила сопротивления воздуха, так как сопротивлением качению мы пренебрегаем, а работа сил трения колес о грунт равна в этом случае нулю (см. § 122).

Следовательно,

где — элементарное перемещение кузова.

Работа внутренних сил (вращающего момента и сил трения в осях), если учесть, что , где — угол поворота колеса, будет

Подставим все эти значения в равенство (а) и одновременно разделим обе его части на Тогда, учтя еще, что получим

Отсюда, сокращая на V, находим

Когда скорость автомобиля стремиться к ее предельному значению, его ускорение а стремится к нулю. Следовательно, найдется из уравнения

откуда

Этот результат можно получить сразу, приравняв нулю сумму работ всех сил. Цель предыдущих выкладок — показать, как составляется уравнение движения (б).

2. Для определения сил трения, действующих на каждое колесо, составим уравнения вращательного движения колес относительно их осей. Для двух ведущих колес, учитывая, что действующая на каждое из них сила трения направлена вперед (см. § 108, рис. 284), получим

Так как при качении то окончательно найдем

Действующая на каждое из ведомых колес сила трения направлена назад. Следовательно, для ведомого колеса будет

откуда

Из равенства (б) видно, что с увеличением скорости ускорение а убывает, стремясь к нулю, когда v стремится к . Таким образом, сила трения, действующая на ведущие колеса, при разгоне несколько возрастает и достигает наибольшего значения, когда движение установится . Если подставить значение а из равенства (б), то легко видеть, что последнее слагаемое в формуле (в) будет много меньше первого, так как Поэтому практически величина изменяется незначительно.

На ведомых колесах сила трения имеет наибольшее значение в момент начала движения, а затем убывает и при равномерном движении равна наименьшему значению

Если коэффициент трения колес о грунт не будет достаточен для того, чтобы снла трения могла принять значение или , то соответствующие колеса будут буксовать. Так как много больше то в первую очередь буксование угрожает ведущим колесам.

При выключенном двигателе все колеса являются ведомыми и на них вначале будет действовать сила трения Действие тормозных колодок эквивалентно увеличению момента в осях, а следовательно, и силы трения, действующей на каждое из колес, чем и ускоряется торможение автомобиля (см. § 108).