§ 63. ОБЩИЙ СЛУЧАЙ ДВИЖЕНИЯ СВОБОДНОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА

Рассмотрим наиболее общий случай движения твердого тела, когда оно является свободным и может перемещаться как угодно по отношению к системе отсчета Охухгг (рис. 180). Установим вид уравнений, определяющих закон рассматриваемого движения. Выберем произвольную точку А тела в качестве полюса и проведем через нее оси которые при движении тела будут перемещаться вместе с полюсом поступательно. Тогда положение тела в системе отсчета Ox будет известно, если будем знать положение полюса А, т. е. его координаты и положение тела по отношению к осям определяемое, как и в случае, рассмотренном в § 60, углами Эйлера (см. рис. 172; на рис. 180 углы Эйлера не показаны, чтобы не затемнять чертеж). Следовательно, уравнения движения свободного твердого тела, позволяющие найти его положение по отношению к системе отсчета в любой момент времени, имеют вид

Установим теперь геометрическую картину рассматриваемого движения. Нетрудно видеть, что первые три из уравнений (79) определяют то движение, которое тело совершало бы при постоянных углах , т. е. при поступательном движении тела вместе с полюсом А.

Рис. 180

Рис. 181

Последние же три уравнения определяют движение, которое происходило бы при постоянных значениях координат т. е. когда точка А неподвижна. Но движение тела вокруг неподвижной точки, как установлено в § 60, слагается из элементарных поворотов вокруг мгновенных осей вращения.

Отсюда заключаем, что в общем случае движение свободного твердого тела можно рассматривать как слагающееся из поступательного движения, при котором все точки тела движутся как произвольно выбранный полюс А со скоростью и из серии элементарных поворотов с угловой скоростью вокруг мгновенных осей вращения, проходящих через полюс А (рис. 181). Такой будет, например, картина движения любого непоступательного перемещающегося в воздухе тела: брошенного камня, самолета, проделывающего фигуры высшего пилотажа, артиллерийского снаряда и т. д. Наконец, аналогичной может быть картина движения и несвободного твердого тела при наличии соответствующих связей (см., например, в § 72 рис .207; в том же параграфе показано, как можно еще иначе представить геометрическую картину движения свободного твердого тела).

Основными кинематическими характеристиками движения являются скорость и ускорение полюса, определяющие скорость и ускорение поступательной части движения, а также угловая скорость и угловое ускорение 8 вращения вокруг полюса. Значения этих величин в любой момент времени можно найти по уравнениям (79). Заметим, что если за полюс принять другую точку тела, например точку В (см. рис. 180), то значения окажутся отличными от (предполагается, что тело движется не поступательно). Но если связанные с телом оси, проведенные из точки В (на рис. 180 не показаны), направить так же, как и в точке А, что можно сделать, то значения углов а следовательно, и последние из уравнений (79) не изменятся. Поэтому и здесь, как случае плоского движения, вращательная часть движения тела, в частности значения , от выбора полюса не зависят.

Движение свободного твердого тела может быть в частном случае плоскопараллельным; при этом векторы будут все время перпендикулярны плоскости, параллельно которой движется тело.

Скорости и ускорения точек тела. Скорость любой точки М тела в рассматриваемом движении слагается, как и в случае плоскопараллельного движения (см. § 54 и рис. 147), из скорости полюса А и скорости которую точка М получает при движении вместе с телом вокруг полюса А. При этом, так как движение тела вокруг полюса А происходит как движение вокруг неподвижной точки, то значение определяется формулой (76), где

Таким образом,

Справедливость этого результата доказывается так же, как в § 54.

Аналогично для ускорения любой точки М тела найдем (см. § 58)

где величина т. е. ускорение, которое точка М получает при движении вместе с телом вокруг полюса А, определяетсяравенством (78), в котором только надо считать