§ 81. ПАДЕНИЕ ТЕЛА В СОПРОТИВЛЯЮЩЕЙСЯ СРЕДЕ (В ВОЗДУХЕ)

Рассмотрим задачу о падении тела в воздухе с малой по сравнению С радиусом Земли высоты. Тогда действующую на тело силу тяжести Р и плотность воздуха можно считать величинами постоянными. Полагая одновременно, что при падении тело движется поступательно, будем его рассматривать как материальную точку. Действующую на тело силу сопротивления воздуха определяем по формуле (8) из § 76; ее модуль

где полагаем (величины тоже постоянны).

Направив координатную ось Ох вертикально вниз (рис. 219), найдем, как будет изменяться скорость падения в зависимости от пройденного пути считая, что движение начинается из точки О и .

На падающее тело действуют силы Р и R; тогда

Чтобы сразу получить зависимость v от составим дифференциальное уравнение движения в виде (14). Учитывая, что получим

Если ввести обозначение

то предыдущее уравнение примет вид

или после разделения переменных

Беря от обеих частей равенства интегралы, находим

Рис. 219

По начальным данным при скорость следовательно, . Подставляя это значение получим

Отсюда окончательно находим

Формула (20) дает закон изменения скорости падающего в воздухе тела в зависимости от пройденного пути.

С возрастанием величина убывает, стремясь при к нулю. Отсюда следует, что скорость падения у с возрастанием возрастает, стремясь в пределе к постоянной величине а. Эта величина называется предельной скоростью падения упр. Из равенства (19) находим, так как

Следовательно, при падающее в воздухе тело не может получить скорости, большей, чем Предельная скорость падения возрастает с увеличением веса тела и с уменьшением величин

Найдем, как быстро скорость падающего тела приближается к предельной. Для этого обратимся к табл. 2, в которой дана зависимость величины от вычисленная по формуле (20). Из таблицы следует, что

Таблица 2

Следовательно, скорость падения приближается к предельной довольно быстро, если только величины и S не очень малы (см. задачу 94).

Наличие предельной скорости падения можно установить следующими простыми рассуждениями. При падении тела его скорость v растет; следовательно, растет и сила сопротивления R. Если считать очевидным, что сила R не может стать больше, чем сила тяжести Р (рис. 219), то . Подставляя сюда значение из формулы (18), получаем , откуда и находим даваемое формулой (21) значение . Однако приведенные рассуждения не позволяют определить, как быстро скорость падения v стремится к . Этот практически важный результат можно получить только с помощью формулы (20).

Задача 94. Определить предельную скорость падения парашютиста, вес которого вместе с парашютом а) при затяжном прыжке, считая в этом случае ; б) при прыжке с открытым парашютом, принимая в этом случае

Найти в обоих случаях расстояние пролетев которое, парашютист приобретает скорость (т. е. отличающуюся от предельной на ), и расстояние при котором скорость падения

Решение. Предельную скорость падения определяем по формуле (21), считая для воздуха Расстояния находим из равенств (22). Так как при то искомое расстояние Аналогично находим, что

В результате подсчетов получаем:

а) при затяжном прыжке

б) при прыжке с открытым парашютом

Как видим, при больших сопротивлениях предельная скорость достигается очень быстро.