§ 136. ДИНАМИЧЕСКИЕ РЕАКЦИИ, ДЕЙСТВУЮЩИЕ НА ОСЬ ВРАЩАЮЩЕГОСЯ ТЕЛА. УРАВНОВЕШИВАНИЕ ВРАЩАЮЩИХСЯ ТЕЛ

Рассмотрим твердое тело, вращающееся равномерно с угловой скоростью вокруг оси, закрепленной в подшипниках А и В (рис. 350). Свяжем с телом вращающиеся вместе с ним оси преимущество таких осей в том, что по отношению к ним координаты центра масс и моменты инерции тела будут величинами постоянными. Пусть на тело действуют заданные силы Обозначим проекции главного вектора всех этих сил на оси через и т. д.), а их главные моменты относительно тех же осей — через при этом, так как то

Для определения динамических реакций подшипников, т. е. реакций, возникающих при вращении тела, присоединим ко всем действующим на тело заданным силам и реакциям связей силы инерции всех частиц тела, приведя их к центру А (см. § 134). Тогда силы инерции будут представлены одной силой, равной и приложенной в точке А, и парой сил с моментом, равным Проекции этого момента на оси x и у будут: здесь опять так как

Теперь, составляя согласно принципу Даламбера уравнения (88) в проекциях на оси (или соответствующие им уравнения равновесия из § 30) и полагая получим

Последнее уравнение удовлетворяется тождественно, так как

Главный вектор сил инерции , где — масса тела [см. формулу (89)]. При центр масс С имеет только нормальное ускорение — расстояние точки С, от оси вращения. Следовательно, направление вектора совпадает с направлением ОС. Вычисляя проекции на координатные оси и учитывая, что где — координаты центра масс, найдем:

Рис. 350

Чтобы определить и рассмотрим какую-нибудь частицу тела с массой отстоящую от оси на расстоянии

Для нее при сила инерции тоже имеет только центробежную составляющую проекции которой, как и у вектора равны:

Тогда [см. § 28 формулы (47)]:

Составляя такие выражения для всех точек системы, складывая их и вынося общий множитель за скобки, придем к равенствам:

где — соответствующие центробежные моменты инерции Подставляя все найденные значения в равенства (92), получим

Уравнения (94) и определяют динамические реакции, действующие на ось равномерно вращающегося твердого тела, если осью вращения является ось .

Назовем статическими реакциями те значения реакций, которые дают уравнения (94), если в них положить Как видно из уравнений (94), динамические реакции могут вообще быть значительно больше статических, причем это зависит не только от значения а», но и от величин характеризующих распределение масс тела по отношению к оси вращения

Однако из уравнений (94) видно, что наличие вращения не будет влиять на значения реакций подшипников А и В, если

Равенства (95) и (96) выражают условия того, что динамические реакции, действующие на ось вращающегося тела, равны статическим реакциям или, как говорят, условия динамической уравновешенности вращающегося тела при его вращении вокруг оси

Условия (95) означают, что центр масс тела должен лежать на оси вращения, а условия (96) — что ось вращения должна быть главной осью инерции тела для начала координат А. При одновременном же выполнении условий (95) и (96) ось будет главной центральной осью инерции тела (см. § 104). Таким образом, динамические реакции, действующие на ось вращающегося тела, будут равны статическим, если ось вращения является одной из главных центральных осей инерции тела. Этот вывод остается справедливым и в случае, когда тело вращается неравномерно.

Рассмотренная задача позволяет одновременно уяснить механический смысл величин а именно: центробежные моменты инерции характеризуют степень динамической неуравновешенности тела при его вращении вокруг оси

Динамическое уравновешивание вращающихся тел представляет собой важную техническую задачу, которая, как мы видим, сводится к определению главных центральных осей инерции тела.

В § 104 было указано, что любое тело имеет, по крайней мере, три взаимно перпендикулярные главные центральные оси инерции.

Докажем другое, практически не менее важное положение: любую ось, проведенную в теле, можно сделать главной центральной осью инерции прибавлением к телу двух точечных масс. Пусть для тела массой величины известны и не равны нулю. Прибавим к телу две массы в точках с координатами Тогда из формул (1) и (10) следует, что если удовлетворить равенствам

то для полученного тела будет , т. е. ось станет главной центральной осью инерции. Подбирая массы и их положения так, чтобы удовлетворялись уравнения (97), мы и решим поставленную задачу. Частью величин при этом следует, конечно, задаться наперед. Например, можно задать значения (но так, чтобы было ), найти из уравнений (97) и т. п.

Такой метод уравновешивания вращающихся тел широко используется в технике для уравновешивания коленчатых валов, кривошипов, спарников и т. п. При этом окончательная балансировка производится на специальных стендах.

Для определения сил давления на ось в отдельных конкретных задачах обычно не пользуются готовыми уравнениями (94), а каждый раз непосредственно применяют принцип Даламбера.

Задача 161. Ось вращения диска, перпендикулярная его плоскости (рис. 351), смещена от центра масс на расстояние . Вес диска Р, угловая скорость постоянна и равна . Определить динамические реакции подшипников А и В, если

Рис. 351

Рис. 352

Решение. Проведем вращающиеся вместе с диском оси Охуz так, чтобы ось прошла через центр масс С диска (см. рис. 351). Ось будет главной осью инерции диска для точки О, поскольку плоскость является плоскостью симметрии диска. и из формул (93) и условия видно, что . Следовательно, силы инерции нриводятся к одной равнодействующей, проходящей через точку О и направленной вдоль линии ОС (вдоль оси ).

По модулю . Так как силы Р и лежат в плоскости акции подшипников лежат в этой же плоскости, т. е. имеют составляющие в точке А и в точке В. Тогда, составляя на основании принципа Даламбера для всех действующих сил и инерции уравнения равновесия в проекциях на оси и уравнение моментов относительно центра А, получим:

Решая эти уравнения, найдем:

Реакции все время располагаются в плоскости вращающейся вместе с телом.

Задача 162. Под прямым углом к вертикальному валу АВ длиной b приварены два одинаковых стержня, расположенных в одной плоскости на расстоянии h друг от друга (рис. 352); длина каждого из стержней , а масса т. Пренебрегая действием сил тяжести, найти динамические давления на вал, если он вращается с постоянной угловой скоростью

Решение. По принципу Даламбера реакции подшипников и силы инерции образуют уравновешенную систему. В данном случае силы инерции каждого из стержней равны по модулю

и образуют пару, которая уравновешивается парой сил Моменты этих пар по модулю равны друг другу. Следовательно, откуда

Пара все время расположена в плоскости вращающейся вместе с валома

Задача 163. Коленчатый вал одноцилиндрового двигателя несет на себе два одинаковых маховика А и В радиусом Рассматривая щеки и шейку колена вала как груз массой кг, находящийся на расстоянии от оси, определить массы грузов, которые надо расположить на ободах маховиков, чтобы сбалансировать систему, если (рис. 353).

Рис. 353

Решение. Проведем координатные оси, вращающиеся вместе с телом, так, чтобы колено вала лежало в плоскости (см. чертеж). Тогда эта плоскость будет плоскостью симметрии. и так как ПРИ этом ось будет для точки О главной осью инерции, то и Кроме того, если обозначить массу всей системы через М, то для нее

Последний результат следует из того, что центробежный момент инерции системы равен сумме центробежных моментов инерции ее частей, а для маховиков и примыкающих к ним частей вала центробежные моменты равны нулю (ось — ось симметрии).

Тогда, как видно из уравнений (97), для присоединяемых грузов, координаты которых массы и должны удовлетворять равенствам.

Так как грузы располагаются на ободах маховиков, то (при знаке плюс уравнения не имеют решений, следовательно, грузы должны быть снизу). Решая уравнения, найдем:

Присоединение этих грузов делает систему уравновешенной, а ось — главной центральной осью инерции (но не осью симметрии) тела.