ЕГЭ и ОГЭ
Хочу знать
Главная > Физика > Краткий курс теоретической механики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 136. ДИНАМИЧЕСКИЕ РЕАКЦИИ, ДЕЙСТВУЮЩИЕ НА ОСЬ ВРАЩАЮЩЕГОСЯ ТЕЛА. УРАВНОВЕШИВАНИЕ ВРАЩАЮЩИХСЯ ТЕЛ

Рассмотрим твердое тело, вращающееся равномерно с угловой скоростью вокруг оси, закрепленной в подшипниках А и В (рис. 350). Свяжем с телом вращающиеся вместе с ним оси преимущество таких осей в том, что по отношению к ним координаты центра масс и моменты инерции тела будут величинами постоянными. Пусть на тело действуют заданные силы Обозначим проекции главного вектора всех этих сил на оси через и т. д.), а их главные моменты относительно тех же осей — через при этом, так как то

Для определения динамических реакций подшипников, т. е. реакций, возникающих при вращении тела, присоединим ко всем действующим на тело заданным силам и реакциям связей силы инерции всех частиц тела, приведя их к центру А (см. § 134). Тогда силы инерции будут представлены одной силой, равной и приложенной в точке А, и парой сил с моментом, равным Проекции этого момента на оси x и у будут: здесь опять так как

Теперь, составляя согласно принципу Даламбера уравнения (88) в проекциях на оси (или соответствующие им уравнения равновесия из § 30) и полагая получим

Последнее уравнение удовлетворяется тождественно, так как

Главный вектор сил инерции , где масса тела [см. формулу (89)]. При центр масс С имеет только нормальное ускорение — расстояние точки С, от оси вращения. Следовательно, направление вектора совпадает с направлением ОС. Вычисляя проекции на координатные оси и учитывая, что где координаты центра масс, найдем:

Рис. 350

Чтобы определить и рассмотрим какую-нибудь частицу тела с массой отстоящую от оси на расстоянии

Для нее при сила инерции тоже имеет только центробежную составляющую проекции которой, как и у вектора равны:

Тогда [см. § 28 формулы (47)]:

Составляя такие выражения для всех точек системы, складывая их и вынося общий множитель за скобки, придем к равенствам:

где — соответствующие центробежные моменты инерции Подставляя все найденные значения в равенства (92), получим

Уравнения (94) и определяют динамические реакции, действующие на ось равномерно вращающегося твердого тела, если осью вращения является ось .

Назовем статическими реакциями те значения реакций, которые дают уравнения (94), если в них положить Как видно из уравнений (94), динамические реакции могут вообще быть значительно больше статических, причем это зависит не только от значения а», но и от величин характеризующих распределение масс тела по отношению к оси вращения

Однако из уравнений (94) видно, что наличие вращения не будет влиять на значения реакций подшипников А и В, если

Равенства (95) и (96) выражают условия того, что динамические реакции, действующие на ось вращающегося тела, равны статическим реакциям или, как говорят, условия динамической уравновешенности вращающегося тела при его вращении вокруг оси

Условия (95) означают, что центр масс тела должен лежать на оси вращения, а условия (96) — что ось вращения должна быть главной осью инерции тела для начала координат А. При одновременном же выполнении условий (95) и (96) ось будет главной центральной осью инерции тела (см. § 104). Таким образом, динамические реакции, действующие на ось вращающегося тела, будут равны статическим, если ось вращения является одной из главных центральных осей инерции тела. Этот вывод остается справедливым и в случае, когда тело вращается неравномерно.

Рассмотренная задача позволяет одновременно уяснить механический смысл величин а именно: центробежные моменты инерции характеризуют степень динамической неуравновешенности тела при его вращении вокруг оси

Динамическое уравновешивание вращающихся тел представляет собой важную техническую задачу, которая, как мы видим, сводится к определению главных центральных осей инерции тела.

В § 104 было указано, что любое тело имеет, по крайней мере, три взаимно перпендикулярные главные центральные оси инерции.

Докажем другое, практически не менее важное положение: любую ось, проведенную в теле, можно сделать главной центральной осью инерции прибавлением к телу двух точечных масс. Пусть для тела массой величины известны и не равны нулю. Прибавим к телу две массы в точках с координатами Тогда из формул (1) и (10) следует, что если удовлетворить равенствам

то для полученного тела будет , т. е. ось станет главной центральной осью инерции. Подбирая массы и их положения так, чтобы удовлетворялись уравнения (97), мы и решим поставленную задачу. Частью величин при этом следует, конечно, задаться наперед. Например, можно задать значения (но так, чтобы было ), найти из уравнений (97) и т. п.

Такой метод уравновешивания вращающихся тел широко используется в технике для уравновешивания коленчатых валов, кривошипов, спарников и т. п. При этом окончательная балансировка производится на специальных стендах.

Для определения сил давления на ось в отдельных конкретных задачах обычно не пользуются готовыми уравнениями (94), а каждый раз непосредственно применяют принцип Даламбера.

Задача 161. Ось вращения диска, перпендикулярная его плоскости (рис. 351), смещена от центра масс на расстояние . Вес диска Р, угловая скорость постоянна и равна . Определить динамические реакции подшипников А и В, если

Рис. 351

Рис. 352

Решение. Проведем вращающиеся вместе с диском оси Охуz так, чтобы ось прошла через центр масс С диска (см. рис. 351). Ось будет главной осью инерции диска для точки О, поскольку плоскость является плоскостью симметрии диска. и из формул (93) и условия видно, что . Следовательно, силы инерции нриводятся к одной равнодействующей, проходящей через точку О и направленной вдоль линии ОС (вдоль оси ).

По модулю . Так как силы Р и лежат в плоскости акции подшипников лежат в этой же плоскости, т. е. имеют составляющие в точке А и в точке В. Тогда, составляя на основании принципа Даламбера для всех действующих сил и инерции уравнения равновесия в проекциях на оси и уравнение моментов относительно центра А, получим:

Решая эти уравнения, найдем:

Реакции все время располагаются в плоскости вращающейся вместе с телом.

Задача 162. Под прямым углом к вертикальному валу АВ длиной b приварены два одинаковых стержня, расположенных в одной плоскости на расстоянии h друг от друга (рис. 352); длина каждого из стержней , а масса т. Пренебрегая действием сил тяжести, найти динамические давления на вал, если он вращается с постоянной угловой скоростью

Решение. По принципу Даламбера реакции подшипников и силы инерции образуют уравновешенную систему. В данном случае силы инерции каждого из стержней равны по модулю

и образуют пару, которая уравновешивается парой сил Моменты этих пар по модулю равны друг другу. Следовательно, откуда

Пара все время расположена в плоскости вращающейся вместе с валома

Задача 163. Коленчатый вал одноцилиндрового двигателя несет на себе два одинаковых маховика А и В радиусом Рассматривая щеки и шейку колена вала как груз массой кг, находящийся на расстоянии от оси, определить массы грузов, которые надо расположить на ободах маховиков, чтобы сбалансировать систему, если (рис. 353).

Рис. 353

Решение. Проведем координатные оси, вращающиеся вместе с телом, так, чтобы колено вала лежало в плоскости (см. чертеж). Тогда эта плоскость будет плоскостью симметрии. и так как ПРИ этом ось будет для точки О главной осью инерции, то и Кроме того, если обозначить массу всей системы через М, то для нее

Последний результат следует из того, что центробежный момент инерции системы равен сумме центробежных моментов инерции ее частей, а для маховиков и примыкающих к ним частей вала центробежные моменты равны нулю (ось — ось симметрии).

Тогда, как видно из уравнений (97), для присоединяемых грузов, координаты которых массы и должны удовлетворять равенствам.

Так как грузы располагаются на ободах маховиков, то (при знаке плюс уравнения не имеют решений, следовательно, грузы должны быть снизу). Решая уравнения, найдем:

Присоединение этих грузов делает систему уравновешенной, а ось — главной центральной осью инерции (но не осью симметрии) тела.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление