1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 391 392 393 394 395 396 397 398 399 400 401 402 403 404 405 406
Макеты страниц
Глава VII. ПРОСТРАНСТВЕННАЯ СИСТЕМА СИЛ§ 28. МОМЕНТ СИЛЫ ОТНОСИТЕЛЬНО ОСИ. ВЫЧИСЛЕНИЕ ГЛАВНОГО ВЕКТОРА И ГЛАВНОГО МОМЕНТА СИСТЕМЫ СИЛВ § 8 было введено понятие о моменте силы относительно центра О. Это вектор Рис. 85 Как это было и для силы, в дальнейшем окажется необходимым рассматривать проекции вектора где Из определения следует, что Найдем другое выражение для Но, как видно из рис. 85, в треугольнике ОАВ сторона Таким образом, момент силы F относительно оси z равен алгебраическому моменту проекции этой силы на плоскость, перпендикулярную оси Замечая как направлен поворот, который стремится совершить сила Из рис. 85 видно еще, что если менять положение точки О на оси z, то и модуль и направление вектора Механический смысл величины В заключение рассмотрим подробнее, как вычисляется момент силы относительно оси 1) провести плоскость 2) спроектировать силу F на эту плоскость и найти величину Рис. 86 Рис. 87 Рис. 88 3) опустить из точки пересечения оси с плоскостью (на рис. 87 это точка О) перпендикуляр на линию действия 4) вычислить произведение При вычислении моментов надо иметь в виду следующие частные случаи: 1) если сила параллельна оси, то ее момент относительно оси равен нулю (так как 2) если линия действия силы пересекает ось, то ее момент относительно оси также равен нулю (так как Объединяя оба случая вместе, заключаем, что момент силы относительно оси равен нулю, если сила и ось лежат в одной плоскости-, 3) если сила перпендикулярна оси (лежит в плоскости, перпендикулярной этой оси), то ее момент относительно оси равен взятому с соответствующим знаком произведению модуля силы на расстояние между линией действия силы и осью, т. е. вычисляется по формуле (45), в которую вместо Задача 35. Найти моменты относительно осей Решение. 1. Сила Р параллельна оси 2. Для вычисления Плечо силы Теперь вычисляем Наконец, для вычисления Теорема Вариньона для моментов силы относительно оси. Если обе части векторного равенства Следовательно, теорема Вариньона о моменте равнодействующей справедлива и для моментов относительно любой оси. Теоремой особенно удобно пользоваться для нахождения моментов силы относительно координатных осей, разлагая силу на составляющие, параллельные осям или их пересекающие. Задача 36. Найти моменты относительно осей Рис. 89 Решение. Разлагая силу Q на составляющие так как Как видим, с помощью теоремы Вариньона моменты силы вычисляются довольно просто (с ее помощью легко найти моменты силы Q и в задаче 35). Поэтому рекомендуется во всех подобных случаях пользоваться данной теоремой. При некотором навыке все подсчеты легко проделать, опуская промежуточные выкладки; например, сразу видно, что Аналитические формулы для моментов силы относительно координатных осей. Разложим силу F, приложенную в точке А с координатами Тогда по теореме Вариньона Но так как составляющая Формулы (47) дают аналитические выражения для моментов силы относительно координатных осей. С их помощью моменты можно вычислять, зная проекции силы и координаты точки ее приложения. Заметим, что каждая следующая формула в равенствах (47) получается из предыдущей так называемой круговой перестановки букв и индексов, т. е. последовательной заменой Рис. 90 Отметим еще один результат: поскольку левые части равенств (47) являются одновременно проекциями вектора Задача 37. Вычислить по аналитическим формулам моменты силы Q, изображенной на рис 89, относительно осей Решение Сила Q приложена в точке D с координатами Подставляя эти значения в формулы (47), получим тот же результат, что и в задаче 36 Для Вычисление главного вектора и главного момента системы сил. Согласно формулам (21) и (22), полученным в § 12, значения главного вектора R и главного момента Покажем, как значения R и Выражения для Окончательно В § 12 было отмечено, что две системы сил, у которых величины R и
|
Оглавление
|