ЕГЭ и ОГЭ
Живые анекдоты
Главная > Физика > Краткий курс теоретической механики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Научная библиотека

Научная библиотека

избранных естественно-научных изданий

Научная библиотека служит для получения быстрого и удобного доступа к информации естественно-научных изданий, получивших широкое распространение в России и за рубежом. На сайте впервые широкой публике представлены некоторые авторские издания написанные ведущими учеными страны.

Во избежании нарушения авторского права, материал библиотеки доступен по паролю ограниченному кругу студентов и преподавателей вузов. Исключение составляют авторские издания, на которые имеются разрешения публикации в открытой печати.

Математика

Физика

Методы обработки сигналов

Схемотехника

Астрономия

Разное

Макеты страниц

Глава VII. ПРОСТРАНСТВЕННАЯ СИСТЕМА СИЛ

§ 28. МОМЕНТ СИЛЫ ОТНОСИТЕЛЬНО ОСИ. ВЫЧИСЛЕНИЕ ГЛАВНОГО ВЕКТОРА И ГЛАВНОГО МОМЕНТА СИСТЕМЫ СИЛ

В § 8 было введено понятие о моменте силы относительно центра О. Это вектор направленный перпендикулярно плоскости ОАВ (рис. 85), модуль которого согласно формуле (13) имеет значение

Рис. 85

Как это было и для силы, в дальнейшем окажется необходимым рассматривать проекции вектора на разные оси. Проекция вектора т. е. момента силы F относительно центра О, на какую-нибудь ось , проходящую через этот центр, называется моментом силы F относительно оси , т. е.

где момент силы F относительно оси z; у — угол между вектором и осью z.

Из определения следует, что как проекция вектора на ось, является величиной алгебраической (знак ) определяется так же, как знак проекции любого вектора, например, на рис.

Найдем другое выражение для позволяющее непосредственно вычислять эту величину. Для этого проведем через произвольную точку оси (рис. 85) плоскость перпендикулярную этой оси, и спроектируем АОАВ на эту плоскость. Так как вектор перпендикулярен плоскости ОАВ, а ось перпендикулярна плоскости то угол у, как угол между нормалями к названным плоскостям, является углом между этими плоскостями. Следовательно, если одновременно учесть равенство (44), то

Но, как видно из рис. 85, в треугольнике ОАВ сторона представляет собой одновременно проекцию силы F на плоскость (см.§ 5). Тогда где алгебраический момент силы относительно центра Из этого и предыдущего равенств следует (с учетом знаков), что

Таким образом, момент силы F относительно оси z равен алгебраическому моменту проекции этой силы на плоскость, перпендикулярную оси , взятому относительно точки пересечения оси с этой плоскостью Этот результат может служить другим определением понятия момента силы относительно оси.

Замечая как направлен поворот, который стремится совершить сила когда (см. рис. 85; случай, когда получится, если изменить направление силы F на прямо противоположное), приходим к следующему выводу, момент силы относительно оси будет иметь знак плюс, когда с положительного конца оси поворот, который стремится совершить сила виден происходящим против хода часовой стрелки, и знак минус — когда по ходу часовой стрелки.

Из рис. 85 видно еще, что если менять положение точки О на оси z, то и модуль и направление вектора будут при этом изменяться, но а с ним и значение изменяться не будут.

Механический смысл величины состоит в том, что она характеризует вращательный эффект силы F, когда эта сила стремится повернуть тело вокруг оси . В самом деле, если разложить силу F на составляющие где (рис. 86), то поворот вокруг оси будет совершать только составляющая и вращательный эффект всей силы F будет, согласно формуле (45), определяться величиной Составляющая же повернуть тело вокруг оси не может (она лишь может сдвинуть тело вдоль оси ).

В заключение рассмотрим подробнее, как вычисляется момент силы относительно оси по формуле (45). Для этого надо (рис. 87):

1) провести плоскость перпендикулярную оси (в любом месте);

2) спроектировать силу F на эту плоскость и найти величину

Рис. 86

Рис. 87

Рис. 88

3) опустить из точки пересечения оси с плоскостью (на рис. 87 это точка О) перпендикуляр на линию действия и найти его длину

4) вычислить произведение определить знак момента.

При вычислении моментов надо иметь в виду следующие частные случаи:

1) если сила параллельна оси, то ее момент относительно оси равен нулю (так как );

2) если линия действия силы пересекает ось, то ее момент относительно оси также равен нулю (так как ).

Объединяя оба случая вместе, заключаем, что момент силы относительно оси равен нулю, если сила и ось лежат в одной плоскости-,

3) если сила перпендикулярна оси (лежит в плоскости, перпендикулярной этой оси), то ее момент относительно оси равен взятому с соответствующим знаком произведению модуля силы на расстояние между линией действия силы и осью, т. е. вычисляется по формуле (45), в которую вместо войдет модуль силы

Задача 35. Найти моменты относительно осей сил Р и Q, которые действуют на горизонтальную плиту, изображенную на рис. 88.

Решение. 1. Сила Р параллельна оси ; она перпендикулярна осям и у и проходит от них на расстояниях Следовательно, с учетом знаков:

2. Для вычисления проектируем силу Q на плоскость получаем

Плечо силы относительно точки О равно b, а поворот ее с конца оси виден происходящим против хода часовой стрелки; следовательно,

Теперь вычисляем Сила Q лежит в плоскости ABD, перпендикулярной оси у и пересекающейся с нею в точке В. Следовательно, Опуская из точки В перпендикуляр на линию действия силы Q (см. вспомогательный чертеж справа), находим, что его длина . Окончательно, учитывая направление поворота, получаем

Наконец, для вычисления проектируем силу Q на плоскость и находим, что , а плечо этой проекции относительно точки О равно Поэтому с учетом знака

Теорема Вариньона для моментов силы относительно оси. Если обе части векторного равенства спроектировать на какую-нибудь ось , проходящую через центр О, то согласно формулам (44) получим

Следовательно, теорема Вариньона о моменте равнодействующей справедлива и для моментов относительно любой оси. Теоремой особенно удобно пользоваться для нахождения моментов силы относительно координатных осей, разлагая силу на составляющие, параллельные осям или их пересекающие.

Задача 36. Найти моменты относительно осей силы Q, приложенной к плите в точке D (рис. 89), если и толщина плиты h; угол а задан.

Рис. 89

Решение. Разлагая силу Q на составляющие параллельные соответственно осям х и z, где по модулю , и применяя теорему Вариньона, получим:

так как

Как видим, с помощью теоремы Вариньона моменты силы вычисляются довольно просто (с ее помощью легко найти моменты силы Q и в задаче 35). Поэтому рекомендуется во всех подобных случаях пользоваться данной теоремой. При некотором навыке все подсчеты легко проделать, опуская промежуточные выкладки; например, сразу видно, что и т. д.

Аналитические формулы для моментов силы относительно координатных осей. Разложим силу F, приложенную в точке А с координатами , на составляющие параллельные координатным осям (рис. 90, а).

Тогда по теореме Вариньона

Но так как составляющая параллельна оси а составляющие и перпендикулярны, то с учетом знаков будет: и в результате Аналогично находятся моменты относительно осей у и z. Окончательно получим:

Формулы (47) дают аналитические выражения для моментов силы относительно координатных осей. С их помощью моменты можно вычислять, зная проекции силы и координаты точки ее приложения. Заметим, что каждая следующая формула в равенствах (47) получается из предыдущей так называемой круговой перестановки букв и индексов, т. е. последовательной заменой на на на (рис. 90, б).

Рис. 90

Отметим еще один результат: поскольку левые части равенств (47) являются одновременно проекциями вектора на координатные оси (где О — начало координат), то с помощью этих равенств можно найти модуль момента по формуле

Задача 37. Вычислить по аналитическим формулам моменты силы Q, изображенной на рис 89, относительно осей и центра О

Решение Сила Q приложена в точке D с координатами Ее проекции на координатные оси

Подставляя эти значения в формулы (47), получим тот же результат, что и в задаче 36 Для по формуле (48) найдем

Вычисление главного вектора и главного момента системы сил. Согласно формулам (21) и (22), полученным в § 12, значения главного вектора R и главного момента системы сил определяются равенствами:

Покажем, как значения R и вычисляются аналитически, т. е. по их проекциям на координатные оси, что нам в дальнейшем понадобится.

Выражения для уже известны (§ 5). Проекции вектора на координатные оси будем обозначать По теореме о проекциях суммы векторов на ось или, согласно равенству (44), . Аналогично находятся

Окончательно проекций главного вектора R и главного момента получим формулы:

В § 12 было отмечено, что две системы сил, у которых величины R и совпадают, эквивалентны. Отсюда следует, что для задания (или определения) любой системы сил, действующих на твердое тело, достаточно задать (определить) ее главный вектор и главный момент относительно некоторого центра, т. е. шесть величин, входящих в левые части равенств (49) и (50) [в случае рассмотренной в § 15 плоской системы сил — три величины, входящие в равенства (27)]. Этим нередко пользуются на практике, например, при задании (определении) аэродинамических сил, действующих на самолет, ракету, автомобиль, или при определении внутренних усилий в частях конструкции (см. задачу 26 в § 20).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление