Глава VII. ПРОСТРАНСТВЕННАЯ СИСТЕМА СИЛ

§ 28. МОМЕНТ СИЛЫ ОТНОСИТЕЛЬНО ОСИ. ВЫЧИСЛЕНИЕ ГЛАВНОГО ВЕКТОРА И ГЛАВНОГО МОМЕНТА СИСТЕМЫ СИЛ

В § 8 было введено понятие о моменте силы относительно центра О. Это вектор направленный перпендикулярно плоскости ОАВ (рис. 85), модуль которого согласно формуле (13) имеет значение

Рис. 85

Как это было и для силы, в дальнейшем окажется необходимым рассматривать проекции вектора на разные оси. Проекция вектора т. е. момента силы F относительно центра О, на какую-нибудь ось , проходящую через этот центр, называется моментом силы F относительно оси , т. е.

где — момент силы F относительно оси z; у — угол между вектором и осью z.

Из определения следует, что как проекция вектора на ось, является величиной алгебраической (знак ) определяется так же, как знак проекции любого вектора, например, на рис.

Найдем другое выражение для позволяющее непосредственно вычислять эту величину. Для этого проведем через произвольную точку оси (рис. 85) плоскость перпендикулярную этой оси, и спроектируем АОАВ на эту плоскость. Так как вектор перпендикулярен плоскости ОАВ, а ось перпендикулярна плоскости то угол у, как угол между нормалями к названным плоскостям, является углом между этими плоскостями. Следовательно, если одновременно учесть равенство (44), то

Но, как видно из рис. 85, в треугольнике ОАВ сторона представляет собой одновременно проекцию силы F на плоскость (см.§ 5). Тогда где алгебраический момент силы относительно центра Из этого и предыдущего равенств следует (с учетом знаков), что

Таким образом, момент силы F относительно оси z равен алгебраическому моменту проекции этой силы на плоскость, перпендикулярную оси , взятому относительно точки пересечения оси с этой плоскостью Этот результат может служить другим определением понятия момента силы относительно оси.

Замечая как направлен поворот, который стремится совершить сила когда (см. рис. 85; случай, когда получится, если изменить направление силы F на прямо противоположное), приходим к следующему выводу, момент силы относительно оси будет иметь знак плюс, когда с положительного конца оси поворот, который стремится совершить сила виден происходящим против хода часовой стрелки, и знак минус — когда по ходу часовой стрелки.

Из рис. 85 видно еще, что если менять положение точки О на оси z, то и модуль и направление вектора будут при этом изменяться, но а с ним и значение изменяться не будут.

Механический смысл величины состоит в том, что она характеризует вращательный эффект силы F, когда эта сила стремится повернуть тело вокруг оси . В самом деле, если разложить силу F на составляющие где (рис. 86), то поворот вокруг оси будет совершать только составляющая и вращательный эффект всей силы F будет, согласно формуле (45), определяться величиной Составляющая же повернуть тело вокруг оси не может (она лишь может сдвинуть тело вдоль оси ).

В заключение рассмотрим подробнее, как вычисляется момент силы относительно оси по формуле (45). Для этого надо (рис. 87):

1) провести плоскость перпендикулярную оси (в любом месте);

2) спроектировать силу F на эту плоскость и найти величину

Рис. 86

Рис. 87

Рис. 88

3) опустить из точки пересечения оси с плоскостью (на рис. 87 это точка О) перпендикуляр на линию действия и найти его длину

4) вычислить произведение определить знак момента.

При вычислении моментов надо иметь в виду следующие частные случаи:

1) если сила параллельна оси, то ее момент относительно оси равен нулю (так как );

2) если линия действия силы пересекает ось, то ее момент относительно оси также равен нулю (так как ).

Объединяя оба случая вместе, заключаем, что момент силы относительно оси равен нулю, если сила и ось лежат в одной плоскости-,

3) если сила перпендикулярна оси (лежит в плоскости, перпендикулярной этой оси), то ее момент относительно оси равен взятому с соответствующим знаком произведению модуля силы на расстояние между линией действия силы и осью, т. е. вычисляется по формуле (45), в которую вместо войдет модуль силы

Задача 35. Найти моменты относительно осей сил Р и Q, которые действуют на горизонтальную плиту, изображенную на рис. 88.

Решение. 1. Сила Р параллельна оси ; она перпендикулярна осям и у и проходит от них на расстояниях Следовательно, с учетом знаков:

2. Для вычисления проектируем силу Q на плоскость получаем

Плечо силы относительно точки О равно b, а поворот ее с конца оси виден происходящим против хода часовой стрелки; следовательно,

Теперь вычисляем Сила Q лежит в плоскости ABD, перпендикулярной оси у и пересекающейся с нею в точке В. Следовательно, Опуская из точки В перпендикуляр на линию действия силы Q (см. вспомогательный чертеж справа), находим, что его длина . Окончательно, учитывая направление поворота, получаем

Наконец, для вычисления проектируем силу Q на плоскость и находим, что , а плечо этой проекции относительно точки О равно Поэтому с учетом знака

Теорема Вариньона для моментов силы относительно оси. Если обе части векторного равенства спроектировать на какую-нибудь ось , проходящую через центр О, то согласно формулам (44) получим

Следовательно, теорема Вариньона о моменте равнодействующей справедлива и для моментов относительно любой оси. Теоремой особенно удобно пользоваться для нахождения моментов силы относительно координатных осей, разлагая силу на составляющие, параллельные осям или их пересекающие.

Задача 36. Найти моменты относительно осей силы Q, приложенной к плите в точке D (рис. 89), если и толщина плиты h; угол а задан.

Рис. 89

Решение. Разлагая силу Q на составляющие параллельные соответственно осям х и z, где по модулю , и применяя теорему Вариньона, получим:

так как

Как видим, с помощью теоремы Вариньона моменты силы вычисляются довольно просто (с ее помощью легко найти моменты силы Q и в задаче 35). Поэтому рекомендуется во всех подобных случаях пользоваться данной теоремой. При некотором навыке все подсчеты легко проделать, опуская промежуточные выкладки; например, сразу видно, что и т. д.

Аналитические формулы для моментов силы относительно координатных осей. Разложим силу F, приложенную в точке А с координатами , на составляющие параллельные координатным осям (рис. 90, а).

Тогда по теореме Вариньона

Но так как составляющая параллельна оси а составляющие и перпендикулярны, то с учетом знаков будет: и в результате Аналогично находятся моменты относительно осей у и z. Окончательно получим:

Формулы (47) дают аналитические выражения для моментов силы относительно координатных осей. С их помощью моменты можно вычислять, зная проекции силы и координаты точки ее приложения. Заметим, что каждая следующая формула в равенствах (47) получается из предыдущей так называемой круговой перестановки букв и индексов, т. е. последовательной заменой на на на (рис. 90, б).

Рис. 90

Отметим еще один результат: поскольку левые части равенств (47) являются одновременно проекциями вектора на координатные оси (где О — начало координат), то с помощью этих равенств можно найти модуль момента по формуле

Задача 37. Вычислить по аналитическим формулам моменты силы Q, изображенной на рис 89, относительно осей и центра О

Решение Сила Q приложена в точке D с координатами Ее проекции на координатные оси

Подставляя эти значения в формулы (47), получим тот же результат, что и в задаче 36 Для по формуле (48) найдем

Вычисление главного вектора и главного момента системы сил. Согласно формулам (21) и (22), полученным в § 12, значения главного вектора R и главного момента системы сил определяются равенствами:

Покажем, как значения R и вычисляются аналитически, т. е. по их проекциям на координатные оси, что нам в дальнейшем понадобится.

Выражения для уже известны (§ 5). Проекции вектора на координатные оси будем обозначать По теореме о проекциях суммы векторов на ось или, согласно равенству (44), . Аналогично находятся

Окончательно проекций главного вектора R и главного момента получим формулы:

В § 12 было отмечено, что две системы сил, у которых величины R и совпадают, эквивалентны. Отсюда следует, что для задания (или определения) любой системы сил, действующих на твердое тело, достаточно задать (определить) ее главный вектор и главный момент относительно некоторого центра, т. е. шесть величин, входящих в левые части равенств (49) и (50) [в случае рассмотренной в § 15 плоской системы сил — три величины, входящие в равенства (27)]. Этим нередко пользуются на практике, например, при задании (определении) аэродинамических сил, действующих на самолет, ракету, автомобиль, или при определении внутренних усилий в частях конструкции (см. задачу 26 в § 20).