Глава XVI. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ, РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ДИНАМИКИ ТОЧКИ

§ 77. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ

Для решения задач динамики точки будем пользоваться одной из следующих двух систем уравнений.

Уравнения в декартовых координатах. Из кинематики известно, что движение точки в прямоугольных декартовых координатах задается уравнениями (см. § 37):

Задачи динамики точки состоят в том, чтобы, зная движение точки, т. е. уравнения (9), определить действующую на точку силу или, наоборот, зная действующие на точку силы, определить закон ее движения, т. е. уравнения (9).

Следовательно, для решения задач динамики точки надо иметь уравнения, связывающие координаты х, у, z этой точки и действующую на нее силу (или силы). Эти уравнения и дает второй закон динамики.

Рассмотрим материальную точку, движущуюся под действием сил по отношению к инерциальной системе отсчета Охуz. Проектируя обе части равенства (2), т. е. равенства на оси х, у, z и учитывая, что и т. д., получим:

или, обозначая вторые производные по времени двумя точками,

Это и будут искомые уравнения, т. е. дифференциальные уравнения движения точки в прямоугольных декартовых координатах. Так как действующие силы могут зависеть от времени t, от положения точки, т. е. от ее координат х, у, z, и от скорости, т. е. от то в общем случае правая часть каждого из уравнений (10) может быть функцией всех этих переменных, т. е. одновременно.

Уравнения в проекциях на оси естественного трехгранника. Для получения этих уравнений спроектируем обе части равенства на оси т. е. на касательную к траектории точки, главную нормаль направленную в сторону вогнутости траектории, и бинормаль (см. в § 42 рис. 122; на нем — оси, по отношению к которым движется точка). Тогда, учитывая, что (см. § 43) , получим

Уравнения (11), где представляют собой дифференциальные уравнения движения точки в проекциях на оси естественного трехгранника.