§ 70. ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ЗУБЧАТЫЕ ПЕРЕДАЧИ

Полученные в предыдущем параграфе результаты могут быть использованы для кинематического расчета зубчатых передач, образованных цилиндрическими зубчатыми колесами (шестернями). Рассмотрим основные виды этих передач.

Рядовой назовем передачу, в которой все оси колес, находящихся в последовательном зацеплении, неподвижны. При этом одно из колес (например, колесо 1 на рис. 202) является Бедущим, а остальные ведомыми.

Рис. 202

В случае внешнего (рис. 202, а) или внутреннего (рис. 202, б) зацепления двух колес имеем так как скорость точки сцепления А у обоих колес одинакова. Учитывая, что число зубцов сцепленных колес пропорционально их радиусам, а вращения колес происходят при внутреннем зацеплении в одну сторону, а при внешнем в разные, получаем

При внешнем зацеплении трех колес (рис. 202, в) найдем, что

Следовательно, отношение угловых скоростей крайних шестерен в этой передаче обратно пропорционально их радиусам (числу зубцов) и не зависит от радиусов промежуточных (паразитных) шестерен.

Из полученных результатов следует, что при рядовом сцеплении, шестерен

(101)

где k — число внешних зацеплений (в случае, изображенном на рис. 202, а, имеется одно внешнее зацепление; на рис. 202, в — два внешних зацепления, на рис. 202, б внешних зацеплений нет).

Передаточным числом данной зубчатой передачи называется величина дающая отношение угловой скорости ведущего колеса к угловой скорости ведомого:

Для рядовой передачи значение дает правая часть формулы (101).

Планетарной называется передача (рис. 203), в которой шестерня неподвижна, а оси остальных шестерен, находящихся в последовательном зацеплении, укреплены на кривошипе АВ, вращающемся вокруг оси неподвижной шестерни.

Дифференциальной называется передача, изображенная на рис. 203, если в пей шестерня 1 не является неподвижной и может вращаться вокруг своей оси А независимо от кривошипа АВ.

Расчет планетарных и дифференциальных передач можно производить, сообщив мысленно всей неподвижной плоскости вращение с угловой скоростью — равной по модулю и противоположной по направлению угловой скорости кривошипа АВ (метод остановки или метод Виллиса).

Рис. 203

Тогда, на основании результатов § 69, кривошип в этом сложном движении будет неподвижен, а любая шестерня радиуса будет иметь угловую скорость

где — абсолютная угловая скорость этой шестерни по отношению к осям (рис. 203). При этом оси всех шестерен будут неподвижны и зависимость между можно будет определить или приравнивая скорости точек сцепления, или непосредственно по формуле (101).

Расчет планетарных и дифференциальных передач можно также производить с помощью мгновенных центров скоростей (см. § 56).

Задача 82. В планетарном механизме (рис. 203) шестерня 1 радиуса неподвижна, а кривошип АВ вращается с угловой скоростью Найти угловую скорость шестерни 3 радиуса

Решение. Абсолютные угловые скорости шестерен по отношению к осям обозначим через Сообщив всей плоскости вращение с угловой скоростью получим в этом движении:

В получившейся передаче оси колес неподвижны, а число внешних зацеплений Тогда по формуле (101)

Отсюда находим абсолютную угловую скорость шестерни

Если то направление вращения шестерни 3 совпадает с направлением вращения кривошипа, при не совпадает. В случае, когда получаем Шестерня 3 в этом случае движется поступательно.

Относительную (по отношению к кривошипу АВ) угловую скорость шестерни 3 найдем по формуле (97). Так как абсолютная скорость (угловая скорость кривошипа является для шестерни 3 переносной), то

При получаем Относительная и переносная угловые скорости образуют при этом пару, и мы другим путем приходим к выводу, что результирующее движение шестерни 3 является в этом случае поступательным со скоростью

Задача 83. Редуктор скоростей (рис. 204) состоит неподвижной шестерни двух спаренных шестерен 2 и 3, насаженных на кривошип, скрепленный с ведущим валом АС (зацепление шестерен 2 и 1 внутреннее);

в) шестерни 4, сидящей на ведомом валу DB. Числа зубцов шестерен: . Ведущий вал делает об/мин. Найти число оборотов в минуту ведомого вала В.

Решение. Обозначим абсолютные угловые скорости: вала АС вместе с кривошипом через шестерни 4 вместе с валом DB через шестерен 2 и 3 через (эти шестерни вращаются как одно тело). Шестерня 1 имеет угловую скорость . Сообщив плоскости параллельно которой движется механизм, вращение с угловой скоростью — получим, что кривошип в этом движении будет неподвижен , а шестерни будут иметь скорости:

Рис. 204

Составляя теперь для шестерен 1 и 2 и шестерен 3 и 4 зависимости (101), получим:

Перемножая эти равенства, найдем, что

Отсюда, учитывая, что величина я об/мин, пропорциональна находим

Задача 84. Решить предыдущую задачу при условии, что шестерня 1 вращается в ту же сторону, что и ведущий вал АС, делая об/мин (редуктор с дифференциальной передачей).

Решение. Ход решения остается таким же, как и в задаче 83, с той лишь разницей, что теперь (причем по условиям задачи знаки совпадают); следовательно, . В результате полученная в задаче 83 пропорция дает

Отсюда, переходя к оборотам в минуту, находим

Если шестерня 1 вращается в противоположном направлении, то в полученном результате надо изменить знак при