§ 41. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ КИНЕМАТИКИ ТОЧКИ

Задачи, решаемые методами кинематики точки, могут состоять в определении траектории, скорости или ускорения точки, в отыскании времени, в течение которого точка проходит тот или иной путь, или пути, проходимого за тот или иной промежуток времени, и т. п.

Прежде чем решать любую из такого рода задач, надо установить, по какому закону движется точка. Этот закон может быть непосредственно задан в условиях задачи (задачи 47, 48) или же из условий задачи определен (задачи 49, 50).

Задача 47. Движение точки задано уравнениями ( — в метрах, t — в секундах).

Определить траекторию, скорость и ускорение точки.

Решение. Для определения траектории исключаем из уравнений движения время t. Умножая обе части первого уравнения на 3, а обе части второю — на 4 и почленно вычитая из первого равенства второе, получим: или

Следовательно, траектория — прямая линия, наклоненная к оси под углом а, где (рис. 118).

Определяем скорость точки. По формулам (12) и (13) получаем:

Теперь находим ускорение точки. Формулы (14) и (15) дают:

Направлены векторы и и а вдоль траектории, т. е. вдоль прямой АВ. Проекции ускорения на координатные оси все время отрицательны, следовательно, ускорение имеет постоянное направление от В к А. Проекции скорости при положительны, следовательно, в течение этого промежутка времени скорость точки направлена от О к В. При этом в момент времени в момент . В последующие моменты времени обе проекции скорости отрицательны и, следовательно, скорость направлена от В к А, т. е. так же, как и ускорение.

Заметим, наконец, что при при (точка В); при при значения и у растут по модулю, оставаясь отрицательными.

Итак, заданные в условиях задачи уравнения движения рассказывают нам всю историю движения точки. Движение начинается из точки О с начальной скоростью и происходит вдоль прямой АВ, наклоненной к оси под углом а, для которого На участке ОВ точка движется замедленно (модуль ее скорости убывает) и через одну секунду приходит в положение В (4, 3), где скорость ее обращается в нуль. Отсюда начинается ускоренное движение в обратную сторону. В момент точка вновь оказывается в начале координат и дальше продолжает свое движение вдоль ОА, Ускорение точки все время равно

Рис. 118

Рис. 119

Задача 48. Движение точки задано уравнениями:

где — постоянные величины. Определить траекторию, скорость и ускорение точки.

Решение. Возводя первые два уравнения почленно в квадрат и складывая, получаем

Следовательно, траектория лежит на круглом цилиндре радиуса R, ось которого направлена вдоль оси (рис. 119). Определяя из последнего уравнения t и подставляя в первое, находим

Таким образом, траекторией точки будет линия пересечения синусоидальной поверхности, образующие которой параллельны оси (синусоидальный ) с цилиндрической поверхностью радиуса R. Эта кривая называется винтовой линией. Из уравнений движения видно, что один виток винтовой линий точка проходит за время определяемое из равенства При этом вдоль оси точка за это время перемещается на величину называемую шагом винтовой линии.

Найдем скорость и ускорение точки. Дифференцируя уравнения движения по времени, получаем:

откуда

Стоящие под знаком радикала величины постоянны. Следовательно, движение происходит с постоянной по модулю скоростью, направленной по касательной к траектории, Теперь по формулам (14) вычисляем проекции ускорения;

откуда

Итак, движение происходит с постоянным по модулю ускорением, Для определения направления ускорения имеем формулы:

Но, очевидно,

где a и P — углы, образуемые с осями радиусом R, проведенным от оси цилиндра к движущейся точке. Так как косинусы углов отличаются от косинусов а и только знаками, то отсюда заключаем, что ускорение точки все время направлено по радиусу цилиндра к его оси.

Заметим, что хотя в данном случае движение и происходит со скоростью, постоянной по модулю, ускорение точки не равно нулю, так как направление скорости изменяется.

Задача 49. Человек ростом h удаляется от фонаря, висящего на высоте двигаясь прямолинейно со скоростью и. С какой скоростью движется конец тени человека?

Решение. Для решения задачи найдем сначала закон, по которому движется конец тени. Выбираем начало отсчета в точке О, находящейся на одной вертикали с фонарем, и направляем вдоль прямой, по которой движется конец тени, координатную ось (рис. 120). Изображаем человека в произвольном положении на расстоянии от точки О. Тогда конец его тени будет находиться от начала О на расстоянии

Из подобия треугольников ОАМ и DAB находим:

Это уравнение выражает закон движения конца тени М, если закон движения человека, т. е. известен,

Взяв производную по времени от обеих частей равенства и замечая, что по формуле где v — искомая скорость, получим

Если человек движется с постоянной скоростью ), то скорость конца тени М будет тоже постоянна, ко в раз больше, чем скорость человека.

Обращаем внимание на то, что при составлении уравнений движения надо изображать движущееся тело или механизм (см. задачу 50) в произвольном положении. Только тогда мы потучим уравнения, определяющие положение движущейся точки (или в любой момент времени.

Рис. 120

Рис. 121

Задача 50. Определить траекторию, скорость и ускорение середины М шатуна кривошипно-ползунного механизма (рис. 121), если а угол при вращении кривошипа растет пропорционально времени:

Решение. Начинаем с определения уравнений движения точки М. Проводя оси и обозначая координаты точки М в произвольном положении через и у находим

Заменяя его значением, получаем уравнения движения точки

Для определения траектории точки М представим уравнения движения в виде

Возводя эти равенства почленно в квадрат и складывая, получим

Итак, траектория точки М — эллипс с полуосями 3b и b.

Теперь по формулам (12) и 13) находим скорость точки М:

Скорость оказывается величиной переменной, меняющейся с течением времени в пределах от до

Далее по формулам (14; определяем проекции ускорения точки

отсюда

где — длина радиуса-вектора, проведанного из центра О до точки М. Следовательно, модуль ускорения точки меняется пропорционально ее расстояние от центра эллипса.

Для определения направления а имеем по формулам (15):

Отсюда, так же как и взадаче 48, находим, что ускорение точки М все направлено вдоль МО к центру эллипса.