Научная библиотека

§ 59. МГНОВЕННЫЙ ЦЕНТР УСКОРЕНИЙ

При непоступательном движении плоской фигуры у нее в каждый момент времени имеется точка Q, ускорение которой равно нулю. Эта точка называется мгновенным центром, ускорений. Определяется положение центра Q, если известны ускорение какой-нибудь точки А фигуры и величины , следующим путем:

1) находим значение угла из формулы ;

2) от точки А под углом к вектору проводим прямую АЕ (рис. 168); при этом прямая АЕ должна быть отклонена от в сторону вращения фигуры, если вращение является ускоренным, и против вращения, если от является замедленным, т. е. в сторону направления углового ускорения е;

Рис. 168

3) откладываем вдоль линии АЕ отрезок AQ, равный

Построенная таким путем точка Q и будет мгновенным центром ускорений. В самом деле, по формулам (59) и

где численно . Подставляя сюда значение AQ из равенства (64), находим, что Кроме того, вектор должен образовывать с линией AQ угол (1, следовательно, вектор параллелен но направлен в противоположную сторону. Поэтому

Если точку Q выбрать за полюс, то так как ускорение любой точки М тела, согласно формуле (59) будет

При этом из равенств (60) следует, что численно

Следовательно, ускорения точек плоской фигуры определяются в данный момент времени так, как если бы движение фигуры было вращением вокруг мгновенного центра ускорений Q. При этом, как следует из (66),

т. е. ускорения точек плоской фигуры пропорциональны их расстояниям от мгновенного центра ускорений. Картина распределения ускорений (т. е. поле ускорений точек плоской фигуры в данный момент времени) показана на рис. 169.

Следует иметь в виду, что положения мгновенного центра скоростей Р и мгновенного центра ускорений Q в данный момент времени не совпадают. Например, если колесо катится по прямолинейному рельсу (см. рис. 170), причем скорость его центра С постоянна (), то мгновенный центр скоростей находится в точке но при этом, как было показано в задаче следовательно, точка Р не является одновременно мгновенным центром ускорений.

Рис. 169

Рис. 170

Мгновенный центр ускорений в этом случае находится, очевидно, в точке С, так как она движется равномерно и прямолинейно и Центры скоростей и ускорений совпадают тогда, когда фигура (тело) вращается вокруг неподвижной оси.

Понятием о мгновенном центре ускорений удобно пользоваться при решении некоторых задач.

Задача 70. Колесо катится по прямолинейному рельсу так, что скорость его центра С постоянна. Определить ускорение точки М обода колеса (рис. 170).

Решение. Так как по условиям задачи то и точка С является мгновенным центром ускорений. Мгновенный центр скоростей находится в точке Р. Следовательно, для колеса

В результате по формуле (66) находим

Таким образом, ускорение любой точки М обода (в том числе и точки Р) равно и направлено к центру С колеса, так как угол Заметим, что это ускорение для точки М не будет нормальным ускорением. В самом деле, скорость точки М направлена перпендикулярно (см. задачу 61). Следовательно, касательная к траектории точки М направлена вдоль линии MD, а главная нормаль — вдоль МР. Поэтому .

Рис. 171

Задача 71. Кривошип ОА вращается с постоянной угловой скоростью Иод (рис. 171). Найти ускорение ползуна В и угловое ускорение шатуна АВ в тот момент времени, когда если

Решение. В рассматриваемый момент времени скорости всех точек шатуна АВ равны (см. задачу 63, рис. 159, б), мгновенный центр скоростей находится в бесконечности и Тогда так как в противном случае по формулам (60) и что невозможно, поскольку эти два вектора взаимно перпендикулярны).

Ускорение точки и направлено вдоль АО. Ускорение точки В, так как она движете прямолинейно, направлено вдоль ОВ.

Из рис. 169 видно, что ускорение любой точки М тела направлено под углом к линии MQ. В данном случае ; следовательно, линии должны быть перпендикулярны Восставляя эти перпендикуляры, [находим, положение точки Q. Составляя теперь пропорцию где получаем

Ускорение любой другой точки М шатуна А В будет перпендикулярно модуль находится из пропорции (67).

Угловое ускорение шатуна найдем из равенства которое дает формула (66) при Следовательно,