Научная библиотека

§ 123. ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ СИСТЕМЫ

Доказанная в § 89 теорема справедлива для любой из точек системы. Следовательно, если рассмотреть какую-нибудь точку системы с массой имеющую скорость то для этой точки будет

где — элементарные работы действующих на точку внешних и внутренних сил. Составляя такие уравнения для каждой из точек системы и складывая их почленно, найдем, что

или

Равенство (49) выражает теорему об изменении кинетической энергии системы в дифференциальной форме. Проинтегрировав обе части этого равенства в пределах, соответствующих перемещению системы из некоторого начального положения, где кинетическая энергия равна в положение, где значение кинетической энергии становится равным , получим

Это уравнение выражает теорему об изменении кинетической энергии в другой (интегральной) форме: изменение кинетической энергии системы при некотором ее перемещении равно сумме работ на этом перемещении всех приложенных к системе внешних и внутренних сил.

В отличие от предыдущих теорем внутренние силы в уравнениях (49) или (50) не исключаются. В самом деле, если — силы взаимодействия между точками системы (рис. 309), то

Рис. 309

Но при этом точка может перемещаться по направлению к а точка — по направлению к Работа каждой из сил будет тогда положительной и сумма работ нулем не будет. Например, при выстреле (см. задачу 127 в § 112) силы давления пороховых газов, являющиеся для системы снаряд — откатывающиеся части внутренними, совершают работу и сообщают скорости телам системы.

Рассмотрим два важных частных случая.

1. Неизменяемая система. Неизменяемой будем называть механическую систему, в которой расстояние между каждыми двумя взаимодействующими точками остается во все время движения постоянным.

Рассмотрим две точки неизменяемой системы действующие друг на друга с силами (см. рис. 309). Тогда, поскольку при движении отрезка должно быть (см. § 55), то и так как - соответственно скорости и элементарные перемещения точек Кроме того, . В результате для суммы элементарных работ этих сил получим

же получится и для всех других взаимодействующих точек системы. В итоге приходим к выводу, что в случае неизменяемой системы сумма работ всех внутренних сил равна нулю и уравнения (49) или (50) принимают вид

2. Система с идеальными связями. Рассмотрим систему, на которую наложены связи, не изменяющиеся со временем. Разделим все действующие на точки системы внешние и внутренние силы на активные и реакции связей. Тогда уравнение (49) можно представить в виде

где — элементарная работа действующих на точку системы внешних и внутренних активных сил, а — элементарная работа реакций, наложенных на ту же точку внешних и внутренних связей.

Как видим, изменение кинетической энергии системы зависит от работы и активных сил и реакций связей. Однако можно ввести понятие о таких «идеальных» механических системах, у которых наличие связей не влияет на изменение кинетической энергии системы при ее движении. Для таких связей должно, очевидно, выполняться условие

Если для связей, не изменяющихся со временем, сумма работ всех реакций при элементарном перемещении системы равна нулю, то такие связи являются идеальными Укажем ряд известных нам видов идеальных связей.

В § 89 было установлено, что если связью является неподвижная поверхность (или кривая), трением о которую можно пренебречь, то при скольжении тел вдоль такой поверхности (кривой) работа реакции N равна нулю. Затем в § 122 показано, что если пренебречь деформациями, то при качении без скольжения тела по шероховатой поверхности работа нормальной реакции N и силы трения (т. е. касательной составляющей реакции) равна нулю. Далее, работа реакции R шарнира (см. рис. 10 и 11), если пренебречь трением, будет также равна нулю, поскольку точка приложения силы R при любом перемещении системы остается неподвижной. Наконец, если на рис. 309 материальные точки рассматривать как связанные жестким (нерастяжимым) стержнем то силы будут реакциями стержня; работа каждой из этих реакций при перемещении системы не равна нулю, но сумма этих работ по доказанному дает нуль. Таким образом, все перечисленные связи можно с учетом сделанных оговорок считать идеальными.

Для механической системы, на которую наложены только не изменяющиеся со временем идеальные связи, будет

Таким образом, изменение кинетической энергии системы с идеальными, не изменяющимися со временем связями при любом ее перемещении равно сумме работ на этом перемещении приложенных к системе внешних и внутренних активных сил.

Все предыдущие теоремы позволяли исключить из уравнений движения внутренние силы, но все внешние силы, в том числе и наперед неизвестные реакции внешних связей, в уравнениях сохранялись. Практическая ценность теоремы об изменении кинетической энергии состоит в том, что при не изменяющихся со временем идеальных связях она позволяет исключить из уравнений движения все наперед неизвестные реакции связей.