§ 57. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ

Для определения искомых кинематических характеристик (угловой скорости тела или скоростей его точек) надо знать модуль и направление скорости какой-нибудь одной точки и направление скорости другой точки сечения этого тела (кроме случаев а) и в), рассмотренных в конце § 56). С определения этих характеристик по данным задачи и следует начинать решение.

Механизм, движение которого исследуется, надо изображать на чертеже в том положении, для которого требуется определить соответствующие характеристики. При расчете следует помнить, что понятие о мгновенном центре скоростей имеет место для данного твердого тела. В механизме, состоящем из нескольких тел, каждое непоступательно движущееся тело имеет в данный момент времени свой мгновенный центр скоростей и свою угловую скорость.

Задача 61. Определить скорость точки М обода катящегося колеса (см. задачу 59) с помощью мгновенного центра скоростей.

Рис. 156

Рис. 157

Решение. Точка касания колеса Р (рис. ) является мгновенным центром скоростей, поскольку Следовательно, Так как прямой угол PMD опирается на диаметр, то направление вектора скорости любой точки обода проходит через точку D.

Составляя пропорцию и замечая, что , находим .

Чем точка М дальше от Р, тем ее скорость больше; наибольшую скорость имеет верхний конец D вертикального диаметра. Угловая скорость колеса согласно формуле (57) имеет значение

Аналогичная картина распределения скоростей имеет место при качении колеса или шестерни по любой цилиндрической поверхности (см. рис. 152).

Задача 62. Определить скорость центра С подвижного блока радиуса и его угловую скорость (рис. 157), если груз А поднимается со скоростью а груз В опускается со скоростью Нить при своем движении по подвижному блоку не проскальзывает, а ее ветви вертикальны.

Решение. Так как нить по подвижному блоку не проскальзывает, то скорости точек а и блока равны по модулю скоростям грузов, т. е. Зная скорости точек а и и полагая для определенности, что находим положение мгновенного центра скоростей Р подвижного блока таким же приемом, как и в случае, показанном на рис. 153, б. Скорость центра С блока изображается вектором Для определения модуля и угловой скорости <эй подвижного блока составляем, пользуясь формулой (58), равенства:

Отсюда, так как находим:

При центр С блока поднимается; если он будет опускаться. При получим

Для случая, когда оба груза А и В опускаются, значения найдем, заменив в полученных формулах на

Задача 63. В кривошипно-ползунном механизме (рис. 158) кривошип ОА длиной вращается с угловой скоростью Длина шатуна При данном угле определить: 1) скорость ползуна В;

2) положение точки М шатуна АВ, имеющей наименьшую скорость; 3) угловую скорость шатуна. Рассмотреть дополнительно положения механизма при

Рис. 158

Решение. Из данных задач следует, что точка А имеет скорость, численно равную и направленную перпендикулярно ОА, а скорость точки В направлена вдоль ВО. Этих данных достаточно для определения всех кинематических характеристик шатуна АВ.

1. По теореме о проекциях скоростей Но поскольку угол OAD, как внешний угол треугольника ОАВ, равен то следовательно.

Исключим из этого равенства угол . Из треугольника ОАВ кроме того,

В результате находим

2. Восставляя из точек А и В перпендикуляры к скоростям этих точек, определяем мгновенный центр скоростей Р для шатуна АВ (линия АР является продолжением ОА). Наименьшую скорость имеет точка ближе всего расположенная к центру Р, т. е. лежащая на перпендикуляре РМ к АВ. Скорость этой точки

3. Угловая скорость шатуна АВ согласно формуле (57)

Длина РВ (или РА) вычисляется по данным задачи.

4. При угле (рис. 159, а) перпендикуляр АВ к скорости и перпендикуляр к направлению пересекаются в точке В. Следовательно, точка В является в этом положении мгновенным центром скоростей и («мертвое» положение механизма). Для этого положения

Распределение скоростей точек шатуна А В показано на чертеже.

5. При угле (рис. 159, б) скорости направлены параллельно и перпендикуляры к ним пересекаются в бесконечности. Следовательно, в этот момент времени все точки шатуна имеют одинаковые скорости, равные

Рис. 159

Рис. 160

Задача 64. Кривошип ОА (рис, 160), вращающийся вокруг оси О с угловой скоростью несет на себе ось подвижной шестерни 1, катящейся по неподвижной шестерне 2. Радиусы шестерен одинаковы и равны . К шестерне 1 шарнирно прикреплен шатун BD длиной l, соединенный с коромыслом DC. Определить угловую скорость сйщэ шатуна в момент, когда он перпендикулярен кривошипу ОА, если в этот момент

Решение. Для определения надо знать скорость какой-нибудь точки шатуна BD и положение его мгновенного центра скоростей. Найдем скорость точки В, пользуясь тем, что она одновременно принадлежит шестерне 1. Для шестерни 1 известны скорость мгновенный центр скоростей Следовательно, и по теореме о проекциях скоростей откуда

Теперь для шатуна BD известны скорость и направление скорости Восставляя перпендикуляры к найдем мгновенный центр скоростей шатуна. При этом, как легко видеть, отрезок Тогда

Заметим, что нельзя пытаться искать какой-нибудь мгновенный центр скоростей, восставляя перпендикуляр к оси Точки А и D принадлежит разным телам, и пересечение указанных перпендикуляров никакого центра скоростей не дает (срави. с задачей 65).

Задача 65. На ось О (рис. 161) независимо друг от друга насажены шестерня и кривошип ОА, вращающийся с угловой скоростью Кривошип несет ось А шестерни 2, наглухо скрепленной с шатуном АВ, проходящим через качающуюся муфту С. Радиусы шестерен 1 к 2 одинаковы Определить угловую скорость о», шестерни 1 в тот момент времени, когда если при этом

Решение. Для определения угловой скорости шестерни 1 надо найти скорость ее точки Е. Эту скорость найдем, пользуясь тем, что такую же скорость имеет точка Е шестерни 2. Для шестерни 2 известны направление и модуль скорости точки А:

Кроме того, мы знаем направление скорости но в данном случае этого недостаточно, так как По теореме проекций значение также не найдется, так как перпендикулярны АЕ. Поэтому для дальнейшего решения воспользуемся тем, что шестерня 2 и шатун АВ образуют одно тело склепаны). Для этого тела знаем направление скорости точки С: вектор направлен вдоль СА, так как в точке С шатун может только проскальзывать вдоль муфты. Восставляя перпендикуляры к находим мгновенный центр скоростей Ртела ВАЕ.

По данным задачи 30°, откуда и Поэтому

Тогда из пропорции находим, что Отсюда

Рис. 161

Рис. 162

Задача 66. В механизме, изображенном на рис. 162, кривошипы 1 и 2 длиной и соответственно могут вращаться независимо друг от друга вокруг их осей . При данных углах найти: 1) чему должны равняться угловые скорости кривошипов, чтобы шарнир С механизма имел в данный момент времени заданную скорость направленную под углом у к звену АС; 2) чему будет равна скорость если кривошипы имеют заданные угловые скорости

Решение. Так как точка С принадлежит одновременно звеньям АС и ВС, то по теореме о проекциях скоростей должно быть

1. Из равенств (а), поскольку найдем, что и у будут иметь заданные значения, когда

Как видим, рассматриваемый механизм действительно позволяет сообщить точке С перемещение в плоскости механизма по любому наперед заданному направлению с заданной скоростью. Подобные свойства механизмов используются в различных манипуляторах

2 Если заданы то одновременно будут известны Тогда из уравнении (а) можно определить искомые значения по расчет при этом будет обычно достаточно громоздким.

Однако задача легко и изящно решается графически. Для этого следует отложить вдоль продолжения АС отрезок а вдоль СВ — отрезок и восставить из точки перпендикуляр к а из точки перпендикуляр к Точка пересечения этих перпендикуляров и определяет конец искомого вектора так как является проекцией на АС, а проекцией на СВ,