1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 391 392 393 394 395 396 397 398 399 400 401 402 403 404 405 406
Макеты страниц
§ 7. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ СТАТИКИРешаемые методами статики задачи могут быть одного из следующих двух типов: 1) задачи, в которых известны (полностью или частично) действующие на тело силы и требуется найти, в каком положении или при каких соотношениях между действующими силами тело будет находиться в равновесии (задачи 4, 5); 2) задачи, в которых известно, что тело заведомо находится в равновесии и требуется найти, чему равны при этом все или некоторые из действующих на тело сил (задачи 6, 7, 8 и др.). Реакции связей являются величинами, наперед неизвестными во всех задачах статики. Приступая к решению любой задачи, следует прежде всего установить, равновесие какого тела (или каких тел) надо рассмотреть, чтобы найти искомые величины. Процесс решения сводится к следующим операциям. 1. Выбор тела (или тел), равновесие которого должно быть рассмотрено. Для решения задачи надо рассмотреть равновесие тела, к которому приложены заданные и искомые силы или силы, равные искомым (например, если надо найти давление на опору, то можно рассмотреть равновесие тела, к которому приложена численно равная этой силе реакция опоры и т. п.). Когда заданные силы действуют на одно тело, а искомые на другое или когда те и другие силы действуют одновременно на несколько тел, может оказаться необходимым рассмотреть равновесие системы этих тел или последовательно равновесие каждого тела в отдельности. 2. Изображение действующих сил. Установив, равновесие какого тела или тел рассматривается (и только после этого), следует на чертеже изобразить все действующие на это тело (или тела) внешние силы, включая как заданные, так и искомые силы, в том числе реакции всех связей. При изображении реакций учесть все сказанное о них в § 3. 3. Составление условий равновесия. Условия равновесия составляют для сил, действующих на тело (или тела), равновесие которых рассматривается. Об особенностях составления условий равновесия для различных систем сил будет сказано в соответствующих местах курса. 4. Определение искомых величин, проверка правильности решения и исследование полученных результатов. Важное значение в процессе решения имеет аккуратный чертеж (он помогает быстрее найти правильный путь решения и избежать ошибок при составлении условий равновесия) и последовательное проведение всех выкладок. Все расчеты при решении задач рекомендуется, как правило, производить в общем виде (алгебраически). Тогда для искомых величин будут получаться формулы, дающие возможность проанализировать найденные результаты. Кроме того, решение в общем виде позволяет иногда обнаружить сделанные ошибки путем проверки размерностей (размерности каждого из слагаемых в обеих частях равенства должны быть одинаковыми). Числа, если решение производится в общем виде, подставляются только в окончательные результаты. В этом параграфе рассмотрим задачи на равновесие тела под действием сходящихся сил. Для их решения можно пользоваться геометрическим или аналитическим методом. Геометрический метод. Им удобно пользоваться, когда общее число действующих на тело сил (и заданных, и искомых) равно трем. При равновесии треугольник, построенный из этих сил, должен быть замкнутым (построение следует начинать с заданной силы). Решая этот треугольник, найдем искомые величины. Аналитический метод. Им можно пользоваться при любом числе приложенных сил. Для составления условий равновесия, которых в случае плоской системы сходящихся сил будет два [формулы (12)], а в случае пространственной системы три [формулы(11)], надо сначала выбрать координатные оси. Этот выбор можно производить произвольно, но полученные уравнения будут решаться проще, если одну из осей направить перпендикулярно какой-либо неизвестной силе. Для составления условий равновесия полезно на первых порах предварительно вычислить проекции всех сил на выбранные оси, внося их в отдельную таблицу (см. задачу 4). Ряд дополнительных указаний дается в ходе решения рассматриваемых ниже задач. Задача 4. Груз весом Р лежит на гладкой наклонной плоскости с углом наклона а (рис. 24, о). Определить значение горизонтальной силы F, которую надо приложить к грузу, чтобы удержать его в равновесии, и найти, чему при этом равна сила давления Q груза на плоскость. Решение. Искомые силы действуют на разные тела: сила F на груз, сила Q — на плоскость. Для решения задачи вместо силы Q будем искать равную ей по модулю, но противоположно направленную реакцию плоскости N. Тогда заданная сила Р и искомые силы F и N будут действовать на груз, т. е. на одиои то же тело. Рассмотрим равновесие груза и изобразим действующие на этот груз силы Р и F и реакцию связи N. Для определения искомых сил можно воспользоваться или геометрическим, или аналитическим условиями равновесия. Рассмотрим оба способа решения. Рис. 24 Геометрический способ. При равновесии треугольник, построенный из сил Р, F к Модули искомых сил можно из треугольника Аналитический способ. Так как система действующих сходящихся сил является плоской, Теперь составляем уравнения Решая эти уравнения, найдем: Геометрическое решение в подобных простых задачах (когда действующи СИЛ три) оказывается более компактным, чем аналитическое. Как видно, при Искомая сила давления груза на плоскость численно равна N, но направлена В противоположную сторону Задача 5. Стержень АВ прикреплен к неподвижной опоре шарниром А (рис. 25, а). К концу В стержня подвешен груз весом Р и прикреплена ннть. Нить перекинута через блок С и к ней подвешен груз весом Q. Оси блока С и шарнира А расположены на одной вертикали, причем Решение. Рассмотрим равновесие стержня АВ, к которому приложены все данные и искомые силы. Изобразим для наглядности стержень отдельно (рис, 25, б) и покажем действующие на него силы: снлу Применяя геометрический способ решения, строим из сил Р, Т и замкнутый силовой треугольник Из полученных результатов следует, что при Случай, когда Обращаем внимание на то, что сила тяжести Q непосредственно в условие равновесия (в силовой треугольник) не вошла, так как эта сила приложена к грузу, а не к стержню АВ, равновесие которого рассматривалось. Задача 6. Кран, закрепленный подшипником А и подпятником В, иесет нагрузку Р (рис. 26) Определить реакции RA и RB опор, вызванные действием данной нагрузки, если вылет крана равен Рис. 25 Рис. 26 Решение Рассмотрим равновесие крана, к которому приложены заданная и искомые силы Изображаем действующие на кран силу Р и реакцию подшипника RA, направленную перпендикулярно оси АВ Реакция подпятника Применяя геометрический способ решения, строим из сил Р, RA и откуда Из треугольника Рассмотренная задача дает пример использования теоремы о трех силах. Задача 7. К шарниру А коленчатого пресса приложена горизонтальная сила Р (рис. 27, а) Пренебрегая весом стержней и поршня, определить силу давления поршня на тело М при данных углах Решение. Рассмотрим сначала равновесие шарнира Теперь рассмотрим равновесие поршня. На поршень действуют тоже три силы: сила давления Строя из этих сил силовой треугольник (рис. 27, в), находим из него Подставляя вместо Сила давления поршня на тело М равна по модулю Q и направлена в противоположную сторону Из последней формулы видно, что при одной и той же силе Р сила Q возрастает с уменьшением углов Если длины стержней ОА и АВ одинаковы, то Рис. 27 Рис. 28 Задача 8. На цилиндр весом Р, лежащий на гладкой горизонтальной плоскости, действует горизонтальная сила Q, прижимающая его к выступу В (рис. 28). Определить реакции в точках А и В, если Решение Рассмотрим равновесие цилиндра, на который действуют заданные силы Р, Q и реакции связей При Подставляя это значение При Задача 9. На кронштейне, состоящем из стержней АВ и ВС, скрепленных друг с другом и со стекой шарнирами, укреплен в точке В блок (рис 29, а). Через блок перекинута нить, один конец которой привязан к стене, а на другом подвешен груз весом Q. Определить реакции стержней, пренебрегая их весом и размерами блока. Углы Решение. Рассмотрим равновесие блока с прилегающим к нему отрезком DE нити Из второго уравнения, учитывая, что Подставляя это значение Рис. 29 Рис. 30 Из выражения для то эта разность положительна, если Обращаем внимание на следующие выводы 1) если в систему входят блоки с перекинутыми через них нитями, то при составлении условий равновесия блок целесообразно рассматривать вместе с прилегающим к нему отрезком нити как одно тело. При этом, если трением нити о блок или трением в оси блока пренебречь, то натяжения на обоих концах нити будут по модулю равны и направлены от блока (иначе нить скользила бы в сторону большего натяжения или блок вращался бы); 2) если при изображении реакций связей какая-нибудь из них будет направлена не в ту сторону, куда она фактически действует, то при геометрическом решении это непосредственно обнаружится из силового многоугольника (правило стрелок), а при аналитическом решении числовая величина соответствующей реакции получится отрицательной. Однако во всех случаях, когда это можно наперед сделать, следует реакции связей сразу направлять верно. Например, в задаче 6 направление реакции подшипника А устанавливается следующими рассуждениями: если убрать подшипник, то кран под действием силы Р начнет падать вправо; следовательно, сила Задача 10. Стоящий на земле вертикальный столб ОА удерживается растяжками АВ и AD, образующими со столбом равные углы а; угол между плоскостями АОВ и Решение. Рассмотрим равновесие узла А, к которому прикреплены провода и тросы. На него действуют силы натяжения проводов Проекции силы Теперь, составляя уравнения Решая эти уравнения, найдем: Из полученных результатов видно, что при
|
Оглавление
|