§ 131. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ГИРОСКОПА

Рассмотрим однородное твердое тело с неподвижной точкой О, имеющее ось симметрии Oz и вращающееся вокруг этой оси с угловой скоростью Q, на много превышающей ту угловую скорость а, которую может иметь сама ось Oz при ее поворотах вместе с телом вокруг точки О; такое тело называют гироскопом.

Рис. 332

Рис. 333

Ось гироскопа, как ось симметрии, является одновременно его главной центральной осью инерции (см. § 104).

Простейшим примером гироскопа является детский волчок (см. ниже рис. 335). В гироскопических приборах ротор гироскопа обычно закрепляют в так называемом кардановом (кольцевом) подвесе, позволяющем ротору совершить любой поворот вокруг неподвижного центра подвеса О, совпадающего с центром тяжести ротора (рис. 332). Такой гироскоп, как и волчок, имеет три степени свободы

У гироскопов, применяемых в технике, Q больше в десятки и сотни тысяч раз что позволяет построить весьма эффективную приближенную теорию гироскопа, называемую элементарной, или прецессионной. Исходят при этом из следующего.

В каждый момент времени абсолютная угловая скорость гироскопа , а его движение, как движение тела, имеющего неподвижную точку О (см. § 60), слагается из серии элементарных поворотов с этой угловой скоростью вокруг мгновенных осей вращения ОР (рис. 333). Но когда угол между векторами и Q очень мал и практически можно принять, что , а ось ОР в любой момент времени совпадает с осью гироскопа. Тогда кинетический момент гироскопа относительно точки О можно тоже считать в любой момент времени направленным вдоль оси и численно равным т. е. (см. конец § 115).

В этом и состоит основное допущение элементарной теории гироскопа.

Таким образом, в дальнейшем будем считать

где — момент инерции гироскопа относительно его оси а саму ось и вектор Ко полагать все время направленными вдоль одной и той же прямой. Последнее позволяет находить, как изменяется со временем направление оси гироскопа, определяя, как изменяется направление вектора . Установим, исходя из элементарной теории, каковы основные свойства гироскопа.

1. Свободный трехстепенной гироскоп. Рассмотрим гироскоп с тремя степенями свободы, закрепленный так, что его центр тяжести неподвижен, а ось может совершать любой поворот вокруг этого центра (см. рис. 332); такой гироскоп называют свободным. Для него, если пренебречь трением в осях подвеса, будет т. е. модуль и направление кинетического момента гироскопа постоянны (см. § 117). Но так как направления вектора Ко и оси гироскопа все время совпадают, то, следовательно, и ось свободного гироскопа сохраняет неизменное направление в пространстве по отношению к инерциальной (звездной) системе отсчета. Это одно из важных свойств гироскопа, используемое при конструировании гироскопических приборов.

Рис. 334

Сохраняя неизменное направление в звездной системе отсчета, ось свободного гироскопа по отношению к Земле будет совершать вращение в сторону, противоположную направлению вращения Земли. Таким образом, свободный гироскоп можно использовать для экспериментального обнаружения факта вращения Земли

2. Действие силы (пары сил) на ось трехстепенного гироскопа. Устойчивость оси гироскопа. Пусть на ось гироскопа (рис. 334) начинает действовать сила F, момент которой относительно центра О равен (или пара сил F, F с моментом, равным ). Тогда по теореме моментов (см. § 116)

где В — точка оси, совпадающая с концом вектора Отсюда, учитывая, что производная от вектора ОВ по времени равна скорости точки В, получаем

Равенство (74) выражает следующую теорему Резаля скорость конца вектора кинетического момента тела относительно центра О равняется по модулю и по направлению главному моменту внешних сил относительно того же центра. Следовательно, точка В, а с нею и ось гироскопа, будет перемещаться по направлению вектора . В результате находим, что если на ось быстро вращающегося гироскопа подействует сила, то ось начнет отклоняться не в сторону действия силы, а по направлению, которое имеет вектор момента этой силы относительно неподвижной точки О гироскопа, т. е. перпендикулярно силе. Аналогичный результат имеет место и при действии на ось гироскопа пары сил.

Из равенства (74) следует, что когда действие силы прекращается, то , а следовательно, и обращается в нуль и ось гироскопа останавливается. Таким образом, гироскоп не сохраняет движения, сообщенного ему силой. Если действие силы является кратковременным (толчок), то ось гироскопа практически почти не изменяет своего направления. В этом проявляется свойство устойчивости быстро вращающегося гироскопа, имеющего три степени свободы.

3. Прецессия трехстепенного гироскопа. Допустим, что сила F (или пара сил F, F, см. рис. 334) действует на гироскоп во все рассматриваемое время его движения, оставаясь в плоскости (такой силой может, например, быть сила тяжести). Так как по установленному выше ось в сторону действия силы не отклоняется, то угол остается все время постоянным, а скорость — перпендикулярной плоскости Следовательно, ось гироскопа будет вращаться (прецессировать) вокруг оси с некоторой угловой скоростью со, называемой угловой скоростью прецессии. Найдем уравнение, определяющее . Так как ось вращается вокруг оси с угловой скоростью (см. рис. 334), то по формуле (48), из § 51 и равенство (74) дает

Это уравнение является исходным приближенным уравнением элементарной (прецессионной) теории гироскопа. Из него следует, что откуда

Чем больше , тем меньше со и тем большую точность дает элементарная теория

В качестве примера найдем угловую скорость прецессии волчка под действием силы тяжести Р (рис. 335). Введя обозначение получим, что и равенство (76) дает

Аналогичную прецессию совершает земная ось, так как вследствие отклонения формы Земли от правильной шарообразной и наклона ее оси равнодействующие сил притяжения Солнца и Луны не проходят через центр масс Земли и создают относительно этого центра некоторые моменты. Период прецессии земной оси (время одного оборота) приблизительно 26 000 лет.

Рис. 335

Рис. 336

4. Гироскоп с двумя степенями свободы. Гироскопический эффект. Рассмотрим гироскоп с ротором 3, закрепленным только в одном кольце 2, которое может вращаться по отношению к основанию 1 вокруг оси (рис. 336). Такой гироскоп имеет по отношению к основанию две степени свободы (поворот вокруг оси и вместе с кольцом 2 — вокруг оси ) и его свойства существенно отличаются от свойств гироскопа с тремя степенями свободы. Например, если толкнуть кольцо 2, то оно начнет свободно вращаться вместе с ротором вокруг оси в то время как трехстепенной гироскоп на такие толчки практически не реагирует (см. п. 2).

Не реагирует трехстепенной гироскоп и на вращение основания, сохраняя неизменным направление своей оси (см. п. 1). Рассмотрим, что в таком случае будет с двухстепенным гироскопом.

Допустим, что в некоторый момент времени основание 1 начинает вращаться вокруг оси (или любой другой ей параллельной) с угловой скоростью Тогда, вращаясь вместе с основанием, гироскоп начнет совершать вынужденную прецессию вокруг оси При этом, согласно уравнению (75), на ротор 3 должен действовать момент который, очевидно, могут создать только силы F, F давления подшипников А, А на ось ротора, показанные на рис. 336 пунктиром (сравни с рис. 334). Так как центр масс О ротора 3 неподвижен, то по теореме о движении центра масс должно быть и, следовательно, силы F, F образуют пару.

Но когда подшипники действуют на ось ротора с силами F, F, то по третьему закону динамики и ось будет одновременно действовать на подшипники А, А с такими же по модулю и противоположными по направлению силами N, N. Пара сил N, N называется гироскопической парой, а ее момент — моментом гироскопической пары или гироскопическим моментом Поскольку момент противоположен то

Отсюда получаем следующее правило Н. Е. Жуковского: если быстро вращающемуся гироскопу сообщить вынужденное прецессионное движение, то на подшипники, в которых закреплена ось ротора гироскопа, начнет действовать гироскопическая пара с моментом Мгир, стремящаяся кратчайшим путем установить ось ротора параллельно оси прецессии так, чтобы направления векторов Q и о совпали.

Под действием гироскопической пары кольцо 2 начнет вращаться вместе с ротором вокруг оси при этом угол а с ним момент будут убывать, и когда станет вращение кольца прекратится

Если кольцо 2 скрепить с основанием 1 жестко, т. е. так, чтобы оно не могло вращаться вокруг оси Ох, то у гироскопа останется одна степень свободы (поворот вокруг оси ). Но и в этом случае, если вращать основание вокруг оси будет иметь место гироскопический эффект и ось начнет давить на подшипники с силами N, N, значения которых, зная расстояние АА, можно определить по формуле (77), если все величины, входящие в ее правую часть, будут тоже известны.

5. Некоторые технические приложения гироскопа. Гироскопы используются как основной элемент в очень большом числе гироскопических приборов и устройств, имеющих самое разнообразное применение.

Трехстепенные гироскопы используют в целом ряде навигационных приборов (гирокомпас, гирогоризонт, курсовой гироскоп и др.), а также в устройствах для автоматического управления движением (стабилизации) таких объектов, как самолет (автопилоты), ракеты, морские суда и др.

Рассмотрим в качестве примера простейшее устройство, где трехстепенной гироскоп используется как стабилизатор (прибор Обри, стабилизирующий движение мины в горизонтальной плоскости). Прибор содержит свободный гироскоп (см. рис. 332), ось которого в момент выстрела совпадает с осью торпеды, направленной на цель. Если торпеда в некоторый момент времени отклонится от заданного направления на угол а (рис. 337), то ось гироскопа, сохраняя свое направление на цель неизменным (по свойству свободного гироскопа), окажется повернутой по отношению к корпусу торпеды на такой же угол.

Рис. 337

Рис. 338

Этот поворот с помощью специального устройства приводит в действие рулевую машину. В результате происходит поворот руля в соответствующую сторону, и торпеда выравнивается.

Прибор дает пример широко используемой индикаторной системы стабилизации (стабилизатор непрямого действия), где гироскоп играет роль чувствительного элемента, регистрирующего отклонение объекта от заданного положения и передающего соответствующий сигнал двигателю, который и осуществляет стабилизацию, возвращая объект в исходное положение (например, с помощью рулей).

Рассмотрим примеры использования двухстепенного гироскопа. Допустим, что ротор этого гироскопа (рис. 338) помещен в кожух 2, связанный с основанием 1 жесткой пружиной, удерживающей ротор в положении, для которого угол и сохраняющей в дальнейшем этот угол малым. При вращении основания начнется под действием гироскопической пары поворот ротора, что вызовет увеличение угла и деформацию пружины. В результате начнет действовать момент ЛР силы упругости пружины. При некотором этот момент и момент гироскопической пары уравновесятся, т. е. будет или Таким образом, прибор служит гиротахометром, т. е. позволяет по значению угла определить угловую скорость объекта, на котором лрибор установлен. Конкретным примером подобного прибора является авиационный указатель поворотов.

Примером использования двухстепенного гироскопа в качестве стабилизатора служит успокоитель качки. Он представляет собой вращающийся с угловой скоростью О ротор 1 (рис. 339). Ось ротора закреплена в раме 2, которая имеет свою ось вращения скрепленную с корпусом судна. Когда на судно при волнении подействует момент М, он сообщит судну какую-то угловую скорость (вектор направлен перпендикулярно плоскости чертежа). Тогда, согласно правилу Жуковского, рама вместе с ротором начнет вращаться вокруг оси с некоторой угловой скоростью вследствие чего на подшипники D и станет действовать гироскопическая пара N, N с моментом способствующая уменьшению крена.

Для повышения эффективности стабилизатора используют снабженный специальным регулятором двигатель, увеличивающий угловую скорость , а с нею и стабилизирующий момент , и возвращающий раму в исходное положение, когда крен прекратится.

Рис. 339

Рис. 340

Успокоитель качки дает пример силовой гироскопической стабилизации (стабилизатор прямого действия), где массивный гироскоп и регистрирует отклонение объекта от заданного положения, и осуществляет стабилизацию, а двигатель играет лишь вспомогательную роль.

Рассмотрим в заключение пример определения гироскопических давлений на подшипники. Если судно, у которого ротор турбины вращается с угловой скоростью Q (рис. 340), совершает поворот с угловой скоростью то на подшипники А и В будут действовать силы направленные как показано на рисунке , Если при этом , а момент инерции ротора , то по формуле (77)

Величины этих сил могут достигать десятков килоиьютонов и должны учитываться при расчете подшипников. Через подшипники гироскопические давления передаются корпусу судна и у очень легкого судна могли бы вызвать при повороте опускание киля или носа. Подобный эффект может наблюдаться и у винтовых самолетов при виражах (поворотах в горизонтальной плоскости).