§ 62. СКОРОСТИ И УСКОРЕНИЯ ТОЧЕК ТЕЛА

Так как тело, движущееся вокруг неподвижной точки, имеет в каждый момент времени мгновенную ось вращения ОР, вокруг которой происходит элементарный поворот с угловой скоростью (рис. 176), то вектор скорости какой-нибудь точки М тела будет определяться в этот момент равенством (48) из § 51, т. е.

где — радиус-вектор, проведенный в точку М из неподвижной точки О. Направлен вектор v перпендикулярно плоскости МОР, проходящей через точку М и ось ОР, в сторону поворота тела. Численно же

где — расстояние точки М от мгновенной оси.

Геометрически скорость любой точки М тела в данный момент времени можно найти, зная в этот момент скорость какой-нибудь точки А тела и направление скорости другой точки В этого тела (сравн. с § 56).

Пусть и направление известны. Проведем тогда через точку А плоскость 1, перпендикулярную вектору (рис. 177). Как показано выше (см. рис. 176), мгновенно ось ОР должна лежать в этой плоскости.

Рис. 176

Рис. 177

Но одновременно ось ОР должна лежать и в плоскости 2, проведенной через точку В перпендикулярно вектору Следовательно, прямая, по которой пересекутся эти плоскости, и будет мгновенной осью вращения ОР. Теперь, определив расстояние h точки А от оси ОР, по формуле (76) найдем угловую скорость со тела в данный момент времени: После этого значение скорости любой точки М тела находится по формуле (76), а вектор будет направлен перпендикулярно плоскости ОМР,

В частном случае, когда известно, что скорость какой-то точки тела равна в данный момент времени нулю, прямая, проходящая через эту точку и неподвижную точку О тела, будет мгновенной осью вращения и расчет существенно упростится (см. задачу 72).

Аналитически скорость v определяют по ее проекциям на какие-нибудь координатные оси. Найдем проекции вектора в на оси , жестко связанные с телом и движущиеся с ним (см. рис. 176); эти имеют то преимущество, что в их координаты точки М будут величинами постоянными. Так как то по известной формуле векторной алгебры

Отсюда, разлагая определитель по элементам первой строки и учитывая, что и что, следовательно коэффициенты при в этом разложении должны равняться соответственно, получим

Эти формулы, как и формулу (76), называют формулами Эйлера. Каждую из них можно тоже получить из предыдущей круговой перестановкой букв (см. формулы (47) и рис. 90, б в § 28).

В частном случае формулы (77), конечно, справедливы и при вращении тела вокруг неподвижной оси г. Так как при этом то для такого случая

Определим теперь ускорение точки М. Из равенства (76), дифференцируя его по времени, найдем

Так как то окончательно

Ускорение называют еще вращательным, а ускорение — осестремительным ускорением точки М. Вектор направлен перпендикулярно плоскости, проходящей через точку М и вектор (рис. 178), а по модулю где — расстояние от точки М до вектора е. Вектор же перпендикулярный одновременно и и со, будет направлен вдоль МС (см. рис. 176), причем по модулю так как

Заметим, что в отличие от результатов, полученных в § 51, здесь не будет вообще вектором касательного ускорения точки М (по касательной направлен вектор а направление вектора будет вообще другим); следовательно, и вектор не будет вектором нормального ускорения точки М.

Рис. 178

Рис. 179

Задача 72. Найти скорости точек В и С конического катка (бегуна), если скорость центра А катка, движущегося по окружности радиуса ОА, известна (рис. 179). Каток при движении катится без скольжения по неподвижной конической поверхности К.

Решение. Каток движется вокруг неподвижной точки О. Так как его качение по поверхности К происходит без скольжения, то скорости точек катка, лежащие в данный момент времени на линии ОВ, равны нулю и, следовательно, ОВ является мгновенной осью вращения.

Тогда где — угловая скорость катка при его повороте вокруг оси ОВ, а — расстояние точки А от этой оси. Отсюда со

Скорость точки С будет равна где — расстояние точки С от оси ОВ. Так как в данном случае то Для точки В, лежащей на мгновенной оси вращения,