§ 79. РЕШЕНИЕ ОСНОВНОЙ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ ПРИ ПРЯМОЛИНЕЙНОМ ДВИЖЕНИИ ТОЧКИ

Движение материальной точки будет прямолинейным, когда действующая на нее сила (или равнодействующая приложенных сил) имеет постоянное направление, а скорость точки в начальный момент времени равна нулю или направлена вдоль силы.

Если при прямолинейном движении направить вдоль траектории координатную ось то движение точки будет определяться первым из уравнений (10), т. е. уравнением

Уравнение (12) называют дифференциальным уравнением прямолинейного движения точки. Иногда его удобнее заменить двумя уравнениями, содержащими первые производные:

В случаях, когда при решении задачи надо искать зависимость скорости от координаты х, а не от времени t (или когда сами силы зависят от х), уравнение (13) преобразуют к переменному Так как то вместо (13) получим:

Решение основной задачи динамики сводится к тому, чтобы из данных уравнений, зная силы, найти закон движения точки, т. е. Для этого надо проинтегрировать соответствующее дифференциальное уравнение. Чтобы яснее было, к чему сводится эта математическая задача, напомним, что входящие в правую часть уравнения (12) силы могут зависеть от времени t, от положения точки, т. е. от и от ее скорости, т. е. от

Следовательно, в общем случае уравнение (12) с математической точки зрения представляет собой дифференциальное уравнение порядка, имеющее вид

Если для данной конкретной задачи дифференциальное уравнение (12) будет проинтегрировано, то в полученное решение войдут две постоянные интегрирования и общее решение уравнения (12) будет иметь вид

Чтобы довести решение каждой конкретной задачи до конца, надо определить значения постоянных Для этого используются обычно так называемые начальные условия.

Изучение всякого движения будем начинать с некоторого определенного момента времени, называемого начальным моментом. От этого момента будем отсчитывать время движения, считая, что в начальный момент Обычно за начальный принимают момент начала движения под действием заданных сил. Положение, которое точка занимает в начальный момент, называется начальным положением, а ее скорость в этот момент — начальной скоростью (начальную скорость точка может иметь или потому, что до момента она двигалась по инерции, или в результате действия на нее до момента каких-то других сил). Чтобы решить основную задачу динамики, надо кроме действующих сил знать еще начальные условия, т. е. положение и скорость точки в начальный момент времени.

В случае прямолинейного движения начальные условия задаются в виде

По начальным условиям можно определить конкретные значения постоянных и найти частное решение уравнения (12), дающее закон движения точки, в виде

Поясним все сказанное на примере следующей простейшей задачи.

Задача 90. Материальная точка с массой движется под действием постоянной по модулю и направлению силы Q (рис. 215). Найти закон движения точки при начальных условиях (16).

Решение. Составляя дифференциальное уравнение движения в виде (13) и учитывая, что получим

Так как , то умножив обе части уравнения на и беря от них интегралы, найдем, что

Замена в этом равенстве на дает

Умножая обе части полученного уравнения на и снова интегрируя, найдем

Этот результат и представляет собой для данной задачи общее решение уравнения (12) в виде, соответствующем равенству (15).

Теперь определим постоянные интегрирования по заданным начальным условиям (16). Решения (а) и (б) должны быть справедливы в любой момент времени, в том числе и в момент Поэтому, подставляя в (а) и (б) вместо t нуль, мы вместо должны получить т. е. должно быть

Полученными равенствами определяются значения постоянных С и , удовлетворяющие начальным условиям задачи. Подставляя эти значения в уравнение (б), найдем окончательно закон происходящего движения в виде, соответствующем равенству (17):

Рис. 215

Как видно из уравнения (в), точка под действием постоянной силы совершает равнопеременное движение, что можно было предсказать заранее, так как если , то и . В частности, таким является движение точки под действием силы тяжести. При этом в уравнении (в) будет , а ось Ох должна быть направлена по вертикали вниз.