§ 135. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ

Принцип Даламбера дает единый метод составления уравнений движения любой несвободной механической системы. Им особенно удобно пользоваться для нахождения реакций связей, когда движение системы известно или может быть определено с помощью уравнений, не содержащих реакций, например с помощью теоремы об изменении кинетической энергии или уравнений, которые будут получены в § 141, 145. При этом из рассмотрения исключаются все наперед неизвестные внутренние силы. В случаях, когда надо определить реакции внутренних связей, систему следует расчленить на такие части, по отношению к которым искомые силы будут внешними.

Для одной несвободной материальной точки применение принципа Даламбера приводит к уравнениям, аналогичным тем, которые рассматривались в § 90 (см. задачу 155).

Задача 155. Решить задачу 107 (см. § 90) с помощью принципа Даламбера.

Решение. Изображаем груз в том положении, для которого надо найти натяжение нити (рис. 344). На груз действуют сила тяжести Р и реакция нити Т. Присоединяем к этим силам нормальную и касательную силы инерции Полученная система сил, согласно принципу Даламбера, будет находиться в равновесии.

Приравнивая нулю сумму проекций всех этих сил на нормаль получим

Так как , где — скорость груза в положении то

Таким образом, мы получили для Т то же выражение, что и в задаче 107. Определяя теперь, как и в задаче 107, величину с помощью теоремы об изменении кинетической энергии, найдем искомый результат.

Уравнение в проекции на касательную дает . Этот результат получается потому, что в точке производная , так как в этой точке модуль скорости имеет максимальное значение,

Рис. 344

Рис. 345

Задача 156. Два груза весом каждый, связанные нитью, движутся по горизонтальной плоскости под действием силы Q, приложенной к первому трузу (рис. 345, а). Коэффициент трения грузов о плоскость Определить ускорение грузов и натяжение нити.

Решение. Изображаем все действующие на систему внешние силы. Прибавляем к этим силам силы инерции грузов. Так как оба груза движутся поступателыю с одним и тем же ускорением, то по модулю

Направления сил показаны на чертеже. Силы трения равны:

Согласно принципу Даламбера полученная система сил должна находиться в равновесии. Составляя уравнение равновесия в проекции на горизонтальную ось, найдем

Отсюда

Очевидно, грузы будут двигаться, если

Искомое натяжение нити является в рассматриваемой системе силой внутренней. Для ее определения расчленяем систему и применяем принцип Даламбера к одному из грузов, например ко второму (рис. 345, б). На этот груз действуют сила , нормальная реакция сила трения и натяжение нити Т. Присоединяя к ним силу инерции и составляя уравнение равновесия в проекции на горизонтальную ось, находим

Подставляя сюда найденное ранее значение а, получим окончательно

Интересно, что натяжение нити в этом случае не зависит от силы трения и при одном и том же суммарном весе системы будет тем меньше, чем меньше вес второго (заднего) груза.

Поэтому, например, в железнодорожном составе выгоднее в голове помещать более тяжелые вагоны, а в хвосте более легкие.

Рассмотрим численный пример. Пусть . Тогда движение возможно, если . Натяжение нити при этом равно 40 Н, Если грузы поменять местами, то натяжение нити станет равным 160 Н.

Задача 157. Решить задачу 134 (см. § 118) с помощью принципа Даламбера и найти дополнительно натяжение нити.

Решение. 1. Рассмотрим барабан и груз как одну систему; присоединяем к телам системы силы инерции (рис. 346). Груз А движется поступательно, и для него Силы инерции барабана приводятся к паре с моментом равным по модулю и направленным противоположно вращению (см § 134). Составляя для всех сил условие равновесия в виде , получим

или

Отсюда находим

2. Рассматривая теперь груз А отдельно и присоединяя к действующим на него силам Q и Т силу инерции получим из условий равновесия, что натяжение нити

Задача 158. Определить силу, стремящуюся разорвать равномерно вращающийся маховик массой , считая его массу распределенной по ободу. Радиус маховика , а угловая скорость

Рис. 346

Рис. 347

Решение. Искомая сила является внутренней. Для ее определения разрезаем обод на две части и применяем принцип Даламбера к одной из половин (рис. 347). Действие отброшенной части заменяем одинаковыми силами F, численно равными искомой силе F. Для каждого элемента ебода сила инерции (центробежная сила инерции) направлена вдоль радиуса. Эти сходящиеся в точке О силы имеют равнодействующую, равную главному вектору сил инерции и направленную вследствие симметрии вдоль оси По формуле где — координата центра масс дуги полуокружности, равная (см. § 35). Следовательно,

Условия равновесия дают и окончательно

С помощью этой формулы можно найти предельную угловую скорость, при превышении которой маховику из данного материала грозит разрыв.

Задача 159. Однородный стержень АВ весом Р, закрепленный в точке А шарниром, отклоняют до горизонтального положения и отпускают без начальной скорости (рис. 348). Определить реакцию шарнира А как функцию угла

Решение. Рассматривая стержень в произвольном положении, проводим оси (перпендикулярно стержню и вдоль стержня) и изображаем действующие на стержень силу тяжести Р и реакции Пользуясь принципом Даламбера, присоединяем к этим силам силы инерции стержня, приведя их к центру А (см. § 134, п. 2). Тогда силы инерции будут представлены двумя составляющими главного вектора R" и парой с моментом При этом по формулам (89) и (91) модули этих составляющих и момента пары имеют значения:

где l — длина стержня; — его угловая скорость и угловое ускорение.

Составляя для этой плоской системы сил уравнения равновесия О, , получим:

Из последнего уравнения, заменив его значением, найдем :

Для определения величины , входящей в выражение можно или проинтегрировать уравнение (в), или воспользоваться теоремой об изменении кинетической энергии. Избирая второй путь и учтя, что получим: или откуда

При найденных значениях s и равенства (а) дают:

Подставив эти величины в первые два из уравнений (б), найдем искомые реакции:

В начальный момент времени . В момент, когда стержень проходит через вертикаль

Рис. 348

Рис. 349

Задача 160. Однородный стержень АВ длиной l и весом Р прикреплен шарниром А к вертикальному валу, вращающемуся с угловой скоростью (рис. 349). Найти натяжение Т горизонтальной нити, удерживающей стержень под углом а к валу.

Решение. Пользуясь принципом Даламбера, присоединяем к действующим на стержень внешним силам снлы инерции. Для каждого элемента стержня с массой центробежная сила инерции равна , где — расстояние элемента от оси вращения Равнодействующая этих распределенных по линейному закону параллельных сил (см. § 21) проходит через центр тяжести треугольника АВЕ, т. е. на расстоянии от оси Так как эта равнодействующая равна главному вектору сил инерции , то по формуле (89)

(здесь — координата центра тяжести стержня).

Составляя теперь уравнение статики получим

Подставляя сюда значения и h, найдем окончательно

Другое решение. Задачу можно решить, не пользуясь результатами § 21, а вычисляя сумму моментов сил инерций относительно центра А непосредственно путем интегрирования. Проведем вдоль стержня АВ ось Для каждого элемента стержня с координатой сила инерции будет . Ее момент относительно центра А равен . Тогда уравнение моментов даст

Выражая все величины, стоящие под знаком интеграла, через , получим:

В результате будет

Подставляя это значение в равенство (а), находим для Т то же выражение, что и при предыдущем решении.