Глава XX. ДВИЖЕНИЕ ТЕЛА В ПОЛЕ ЗЕМНОГО ТЯГОТЕНИЯ

§ 97. ДВИЖЕНИЕ БРОШЕННОГО ТЕЛА В ПОЛЕ ТЯГОТЕНИЯ ЗЕМЛИ

Задача о движении тела в поле земного тяготения возникает при изучении движения баллистических ракет и искусственных спутников Земли, а также при рассмотрении проблем космических полетов.

Будем рассматривать движущееся тело как материальную точку массы , а Землю считать неподвижной. Пусть в начальный момент времени эта точка находится у поверхности Земли в положении (рис. 269) и имеет начальную скорость направленную под углом а к горизонтальной плоскости. Если пренебречь сопротивлением воздуха (что для рассматриваемых высот полета в первом приближении допустимо), то на точку при ее движении будет действовать только сила тяготения F, направленная к центру Земли. Как показано в § 88, п. 4, модуль этой силы можно представить в виде

где — расстояние точки от центра Земли; — значение для точки вылета — ускорение силы земного тяготения в точке

Так как сила F — центральная (см. § 86), то траектория точки будет плоской кривой. Поэтому для изучения движения можно воспользоваться полярными координатами поместив их начало (полюс) О в центре Земли и направляя полярную ось вдоль линии . Составим дифференциальные уравнения движения точки М.

Рис. 269

По закону площадей (см. § 86) при движении под действием центральной силы момент вектора скорости v относительно центра О (или удвоенная секторная скорость точки) будет величиной постоянной. Следовательно, . Но из чертежа видно, что если разложить вектор v на радиальную и поперечную составляющие (см. § 47), то

Отсюда получаем первое уравнение

Значение постоянной с найдем из условий в точке вылета , где, как легко видеть, . Следовательно,

Второе уравнение получим из теоремы об изменении кинетической энергии в дифференциальной форме [см. § 89, формула (51)]

Но по формуле (49) из § 88

В результате найдем второе уравнение в виде

где (см. § 47)

Интегрируя дифференциальные уравнения (103) и (105), можно определить как функции времени t, т. е. найти закон движения точки. Вместо этого найдем сразу ее траекторию. Чтобы упростить расчет, введем новое переменное и, полагая

Тогда с учетом равенств (107) и (103) получим

Подставляя эти значения в формулу (106), находим

Найденное выражение подставим в левую часть уравнения (105). Получим

Заменяя здесь с его значением из (104) и сокращая на , найдем окончательно дифференциальное уравнение траектории:

где обозначено

Решение этого уравнения слагается из общего решения уравнения без правой части, которое совпадает с решением уравнения (67) при и частного решения уравнения с правой частью. Следовательно, где имеет вид (68) или (69) при в чем можно убедиться непосредственной подстановкой. В результате решением уравнения (108) будет

где — постоянные интегрирования. Полагая здесь где — новые постоянные, и переходя от , найдем окончательно уравнение траектории в виде

Из аналитической геометрии известно, что (110) представляет собой уравнение конического сечения (эллипса, параболы или гиперболы) с фокальным параметром и эксцентриситетом , выраженное в полярных координатах, для которых полюс О находится в одном из фокусов.

При этом геометрический смысл постоянной виден из того, что при знаменатель в равенстве (110) имеет минимум, а следовательно, величина — максимум. Таким образом, угол определяет положение оси симметрии траектории (ось АР на рис. 269) по отношению к линии или к точке вылета

Чтобы определить значения постоянных интегрирования , надо для начального положения , т. е. в точке знать кроме (или и) еще и производную от (или от и) по Формулы (32), полученные в § 47, и последнее из равенств (107) дают:

Но в точке как видно из рис. Следовательно, начальные условия для и имеют вид:

Из уравнения (110), переходя опять от к а, найдем

Подставляя сюда начальные значения и и получим

или, заменяя p его значением (109),

Из этих равенств, деля их сначала почленно друг на друга, а затем возводя в квадрат и складывая, найдем окончательно:

Равенство (112) определяет угол P, т. e. положение оси симметрии траектории по отношению к точке вылета Формула же (113) дает значение эксцентриситета траектории. Из нее видно, что траекторией точки будет:

Скорость называется параболической или второй космической скоростью. Если считать км и то получим Таким образом, при начальной скорости тело, брошенное с поверхности Земли под любым углом а к горизонтальной плоскости, будет двигаться по параболе или гиперболе (при — по прямой), неограниченно удаляясь от Земли. Достижение скоростей такого порядка необходимо для межпланетных сообщений При скорости, меньшей второй космической, тело или упадет обратно на Землю, или станет искусственным спутником Земли.

Закон движения точки вдоль траектории, т. е. ее положение на траектории в любой момент времени, можно найти, заменяя в равенстве (103) его значением из (110), а затем, интегрируя полученное уравнение.