§ 124. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ

Теорема об изменении кинетической энергии в случаях, когда движущаяся система является неизменяемой, позволяет исключить из рассмотрения все неизвестные внутренние силы, а при идеальных, не изменяющихся со временем связях — и наперед неизвестные реакции внешних связей.

В случае изменяемой системы теорема дает решение задачи только тогда, когда внутренние силы наперед известны. Если же эти силы не известны (задачи 123, 127 и им подобные), то получить решение с помсяцью одной только этой теоремы нельзя.

Уравнение (50) позволяет легко решать те задачи, в которых в число данных и искомых величин входят: 1) действующие силы; 2) перемещение системы; 3) скорости тел (линейные или угловые) в начале и в конце перемещения. При этом действующие силы должны быть постоянными или зависеть только от перемещений (расстояний).

Важно также иметь в виду, что с помощью теоремы об изменении кинетической энергии можно (когда положение системы определяется одним параметром) составлять дифференциальные уравнения движения системы и, в частности, находить ускорения движущихся тел; при этом на систему могут вообще действовать и любые переменные силы (см. задачи 141—143 и задачу 154 в § 130).

Задача 139. Стержень АВ длиной 1 подвешен на шарнире в точке А (рис. 310), Пренебрегая трением в шарнире, найти, какую наименьшую угловую скорость надо сообщить стержню, чтобы он отклонился до горизонтального положения.

Рис. 310

Рис. 311

Решение. В число данных и искомых в задаче величии входят и перемещение системы, определяемое углом Следовательно, для решения задачи удобнее всего воспользоваться теоремой об изменении кинетической энергии. Учитывая, что система не изменяема, составим уравнение (51)

Обозначая массу стержня через М, вычислим все входящие в это уравнение величины. По формуле (43) и формуле (6) из § 102 находим

Так как в конечном положении скорость стержня равна нулю, то Наложенная связь является идеальной (шарнир А); следовательно, работу совершает только активная сила

Подставляя все эти значения в уравнение (а), найдем

Задача 140. Шкивы А и В, соединенные ремнем (рис. 311), вращаются после выключения двигателя так, что шкив А имеет угловую скорость Общий вес шкивов Р, а вес ремня р. Чтобы затормозить вращение, к шкиву А радиусом R прижимают с силой Q тормозную колодку; коэффициент трения колодки о шкив Пренебрегая трением в осях и считая шкивы сплошными дисками, найти, сколько оборотов сделает шкив А до остановки.

Решение. Для определения искомого числа оборотов воспользуемся уравнением (51)

Прн вычислении кинетической энергии надо всегда иметь в виду, что кинетическая энергия системы равна сумме кинетических энергий всех входящих в нее тел. По условиям задачи Учитывая, что начальные скорости всех точек ремня где — начальная угловая скорость и радиус шкива В, найдем по формулам (43) и (8):

Последнее равенство следует из того, что все точки ремня движутся с одной в той же по модулю скоростью. Окончательно, так как получаем

Вычисляем работы сил. В данном случае работа сил тяжести равна нулю, так как центры тяжести колес и ремня при движении системы не перемещаются. Сила трения Ее работу найдем по формуле (47)

Подставляя все найденные значения в уравнение (а), получим окончательно

Задача 141. Тележку тянут вверх по наклонной плоскости с углом наклона приложив к ней постоянную силу (рис. 312). Вес платформы тележки , вес каждого из четырех ее сплошных колес . Определить: 1) какую поступательную скорость будет иметь тележка, пройдя путь если с каким ускорением движется тележка. Качение колес происходит без скольжения; сопротивлением качению пренебречь.

Решение. 1. Для определения воспользуемся уравнением (51)

В данном случае Тележка движется поступательно, а кинетическая энергия сплошного катящегося колеса была вычислена в задаче 136 (см. § 121); следовательно,

Работу совершают сила Q и сила тяжести равная Работа силы трения, препятствующей скольжению, и нормальных реакций плоскости равна нулю (см. § 122). Вычисляя, находим:

Подставляя все эти данные в уравнение (а), получаем

откуда

2. Для определения ускорения а, поскольку нами уже получено равенство (б), поступим следующим образом: будем считать в равенстве (б) величины и I (параметр, определяющий положение всей системы) переменными. Тогда, продифференцировав по времени обе части равенства, найдем

Но Окончательно, сокращая на v, получим

Обращаем внимание на использованный в этой задаче прием определения ускорения с помощью теоремы об изменении кинетической энергии.

Рис. 312

Рис. 313

Задача 142. На цилиндрический каток радиусом R и массой М намотана нить, перекинутая через блок О (рис. 313) и несущая на конце груз D массой . Определить, какую скорость будет иметь центр С катка, пройдя путь s, если Найти, чему равно ускорение этого центра. Коэффициент трения качения катка равен k, радиус инерции катка относительно его оси равен Массой нити и блока О пренебречь.

Решение. 1. Для определения скорости воспользуемся уравнением

В данном случае причем по формулам (42), (44) и (4)

Так как точка В является мгновенным центром скоростей, то Следовательно,

Работу совершают сила и пара Поскольку то перемещением груза D будет где s — перемещение центра С катка, и Работу сил сопротивления качению вычисляем по формуле (48), так как . Тогда

Подставляя найденные значения в уравнение (а), получим

откуда

2. Для определения как и в предыдущей задаче, дифференцируем обе части равенства (б) по t. Окончательно, учитывая, что найдем

Задача 143. Шестерня 1 радиусом и массой насаженная на кривошип 2 длиной и массой и связанная с ним спиральной пружиной, может кататься по неподвижной шестерне 3 радиусом (рис. 314). Момент, действующий со стороны пружины, где а, — угол поворота шестерни 1 относительно кривошипа. Пренебрегая трением в осях, найти период колебаний, которые будет совершать кривошип, если его вывести из положения равновесия. Механизм расположен в горизонтальной плоскости.

Рис. 314

Решение. Будем определять положение кривошипа углом отсчитываемым от положения равновесия. Чтобы исключить неизвестную реакцию оси С, рассмотрим шестерню 1 и кривошип как одну систему и составим дифференциальное уравнение ее движения с помощью уравнения (49).

Сначала вычисляем кинетическую энергию Т системы, выражая ее через угловую скорость сокр кривошипа (так как мы ищем закон движения кривошипа). Получаем

Считая кривошип однородным стержнем, а шестерню — диском и учитывая, что точка касания является для шестерни 1 мгновенным центром скоростей, найдем, что

Подчеркиваем, что в формулу (44), по которой вычисляется входит абсолютная угловая скорость шестерни, а не ее относительная скорость поворота по отношению к кривошипу. Подставляя все найденные значения в равенство (а), получим окончательно

Теперь вычисляем элементарную работу. Внешние силы в данном случае работу не производят; следовательно, Элементарная работа силы упругости пружины (внутренняя сила), когда шестгрня повернута вокруг кривошипа на угол а, равна (знак минус потому, что момент направлен в сторону, противоположную углу поворота шестерни). Поскольку мы ищем закон движения кривошипа, то выразим угол а через Так как то или откуда

Составляя теперь уравнение получим

Но так как

то окончательно, после сокращения на найдем следующее дифференциальное уравнение движения системы;

Полученное уравнение является дифференциальным уравнением гармонических колебаний (см. § 94). Следовательно, кривошип, выведенный из положения равновесия, будет совершать гармонические колебания, период которых

Решенная задача показывает, как может использоваться теорема об изменении кинетической энергии для составления дифференциального уравнения движения системы, положение которой определяется одной координатой (здесь углом ).

Задача 144. Трос, имеющий длину l и массу намотанный на барабан массой несет на конце груз массой (см. рис. 300). Считая массу барабана равномерно распределенной по ободу и пренебрегая толщиной троса и треиием в осн определить зависимость скорости v груза от длины свешивающейся части троса. В начальный момент времени и приближенно

Решение. Для определения, искомой зависимости воспользуемся уравнением

Поскольку груз, все частицы троса и все точки обода барабана движутся с одной и той же скоростью v, то где Кроме того, так как вес свешивающейся части троса равен то и уравнение (а) примет вид

Отсюда, интегрируя и учитывая что при получим