§ 86. ДВИЖЕНИЕ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ЦЕНТРАЛЬНОЙ СИЛЫ. ЗАКОН ПЛОЩАДЕЙ

Центральной называется сила, линия действия которой проходит все время через данный центр О. Примером такой силы является сила притяжения планеты к Солнцу или спутника к Земле.

Рассмотрим, пользуясь уравнением (37), как будет двигаться точка М (рис. 226) под действием центральной силы F. Так как в данном случае , поскольку масса постоянна, т. е. вектор постоянен и по модулю, и по направлению.

Напомним, что вектор направлен перпендикулярно плоскости, проходящей через векторы . Следовательно, если вектор имеет все время постоянное направление, то радиус-вектор точки М и вектор ее скорости и должны все время лежать в одной и той же плоскости. Отсюда заключаем, что траектория точки М будет плоской кривой. Кроме того, одновременно

Рис. 226

Таким образом, при движении под действием центральной силы точка двигается по плоской кривой, а ее скорость v изменяется так, что момент вектора v относительно центра О остается постоянным

Последний результат имеет наглядное геометрическое истолкование. Так как , где — площадь элементарною треугольника ОММ', то, следовательно,

Величина определяет скорость, с которой растет площадь, ометаемая радиусом-вектором ОМ при движении точки М, и называется секторной скоростью точки. В рассматриваемом случае эта скорость постоянна:

(39)

Таким образом, при движении под действием центральной силы тонка движется по плоской кривой с постоянной секторной скоростью, т. е. так, что радиус-вектор тонки в любые разные промежутки времени ометает равные площади (закон площадей). Этот закон имеет место при движении планет или спутников и выражает собой один из законов Кеплера.

Рис. 227

Пример. Орбитой планеты, движущейся под действием силы притяжения Солнца, является эллипс, причем Солнце находится в одном из фокусов С эллипса (рис. 227). Так как сила притяжения является центральной, то при движении имеет место закон площадей. Поэтому в ближайшей к Солицу точке орбиты П (перигелий) скорость планеты будет наибольшей, а в наиболее удаленной от Солнца точке А (афелий) скорость будет наименьшей. Этот результат следует из уравнения (39), которое для точек А и П дает . К такому же выводу можно прийти, если учесть, что площади пунктирно заштрихованных на рис. 227 секторов, ометаемых за одинаковые промежутки времени, должны быть равны, следовательно, за одно и то же время планета вблизи точки П должна пройти больший путь, чем вблизи А.

Аналогичный результат имеет место при движении спутника.