§ 102. МОМЕНТ ИНЕРЦИИ ТЕЛА ОТНОСИТЕЛЬНО ОСИ. РАДИУС ИНЕРЦИИ

Моментом инерции тела (системы) относительно данной оси Oz (или осевым моментом инерции) называется скалярная величина, разная сумме произведений масс всех точек тела (системы) на квадраты их расстояний от этой оси:

Из определения следует, что момент инерции тела (или системы) относительно любой оси является величиной положительной и не равной нулю.

В дальнейшем будет показано, что осевой момент инерции играет при вращательном движении тела такую же роль, какую масса при поступательном, т. е. что осевой момент инерции является мерой инертности тела при вращательном движении.

Согласно формуле (2) момент инерции тела равен сумме моментов инерции всех его частей относительно той же оси. Для одной материальной точки, находящейся на расстоянии h от оси, . Единицей измерения момента инерции в СИ будет 1 кг (в системе МКГСС — ).

Для вычисления осевых моментов инерции можно расстояния точек от осей выражать через координаты этих точек (например, квадрат расстояния от оси Ох будет и т. д.).

Тогда моменты инерции относительно осей будут определяться формулами:

Часто в ходе расчетов пользуются понятием радиуса инерции. Радиусом инерции тела относительно оси называется линейная величина определяемая равенством

где М — масса тела. Из определения следует, что радиус инерцни геометрически равен расстоянию от оси той точки, в которой надо сосредоточить массу всего тела, чтобы момент инерции одной этой точки был равен моменту инерции всего тела.

Зная радиус инерции, можно по формуле (4) найти момент инерции тела и наоборот.

Формулы (2) и (3) справедливы как для твердого тела, так и для любой системы материальных точек. В случае сплошного тела, разбивая его на элементарные части, найдем, что в пределе сумма, стоящая в равенстве (2), обратится в интеграл. В результате, учитывая, что где — плотность, а V — объем, получим

Интеграл здесь распространяется на весь объем V тела, а плотность и расстояние h зависят от координат точек тела. Аналогично формулы (3) для сплошных тел примут вид

Формулами (5) и (5) удобно пользоваться при вычислении моментов инерции однородных тел правильной формы. При этом плотность будет постоянной и выйдет из-под знака интеграла.

Найдем моменты инерции некоторых однородных тел.

1. Тонкий однородный стержень длиной l и массой М. Вычислим его момент инерции относительно оси перпендикулярной стержню и проходящей через его конец А (рис. 275). Направим вдоль АВ координатную ось Тогда для любого элементарного отрезка длины d величина , а масса , где — масса единицы длины стержня. В результате формула (5) дает

Заменяя здесь его значением, найдем окончательно

2. Тонкое круглое однородное кольцо радиусом R и массой М. Найдем его момент инерции относительно оси перпендикулярной плоскости кольца и проходящей через его центр С (рис. 276).

Рис. 275

Рис. 276

Рис. 277

Так как все точки кольца находятся от оси на расстоянии то формула (2) дает

Следовательно, для кольца

Очевидно, такой же результат получится для момента инерции тонкой цилиндрической оболочки массой М и радиусом R относительно ее оси.

3. Круглая однородная пластина или цилиндр радиусом R и массой М. Вычислим момент инерции круглой пластины относительно оси перпендикулярной пластине и проходящей через ее центр (см. рис. 276). Для этого выделим элементарное кольцо радиусом и шириной (рис. 277, а). Площадь этого кольца , а масса где — масса единицы площади пластины. Тогда по формуле (7) для выделенного элементарного кольца будет а для всей пластину

Заменяя здесь его значением, найдем окончательно

Такая же формула получится, очевидно, и для момента инерции однородного круглого цилиндра массой М и радиусом R относительно его оси (рис. 277, б).

4. Прямоугольная пластина, конус, шар. Опуская выкладки, приведем формулы, определяющие моменты инерции следующих тел (читатель может получить их самостоятельно, а также найти эти и другие формулы в различных справочниках):

а) сплошная прямоугольная пластина массой М со сторонами направлена вдоль стороны АВ, ось у — вдоль :

б) прямой сплошной круглый конус массой М с радиусом основания R (ось направлена вдоль оси конуса):

в) сплошной шар массой М и радиусом R (ось направлена вдоль диаметра):

Моменты инерции неоднородных тел и тел сложной конфигурации можно определять экспериментально с помощью соответствующих приборов. Один из таких методов рассмотрен в § 129.