§ 145. УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА

Чтобы найти уравнения движения механической системы в обобщенных координатах, обратимся к общему уравнению динамики (102), которое дает

Для общности не будем предполагать, что все наложенные на систему связи являются идеальными. Поэтому в первую сумму могут входить как работы активных сил, так и, например, работы сил трения.

Пусть система имеет s степеней свободы и ее положение определяется обобщенными координатами (104). Тогда по формуле (112)

Очевидно, что совершенно так же, как это было сделано в § 143 для сил можно преобразовать к обобщенным координатам элементарную работу сил инерции При этом получим

где — обобщенные силы инерции, которые согласно формулам (109, (111) будут:

Подставляя величины (121) и (121) в уравнение (120), найдем

Так как все между собой независимы, то полученное равенство может выполняться тогда и только тогда, когда каждый из коэффициентов при в отдельности равен нулю, в чем убеждаемся, рассуждая так же, как при выводе уравнений (117). Следовательно, должно быть

Полученными уравнениями можно непосредственно пользоваться для решения задач динамики. Однако процесс составления этих уравнений значительно упростится, если выразить все входящие сюда обобщенные силы инерции через кинетическую энергию системы. Преобразуем сначала соответствующим образом величину . Поскольку сила инерции любой из точек системы , то первая из формул (122) дает

Чтобы выразить через кинетическую энергию системы, надо преобразовать правую часть равенства (124) так, чтобы она содержала только скорости системы. С этой целью заметим прежде всего, что

В справедливости равенства (125) легко убедиться, продифференцировав произведение, стоящее справа в скобках. Дальнейшее преобразование осуществляется с помощью следующих двух равенств:

Докажем сначала справедливость первого из них. Так как согласно , то

Справедливость второго из равенств (126) следует из того, что операции полного дифференцирования по I и частного по переместительны, т. е.

Подставив теперь величины (126) в равенство (125), получим

и формула (124), есть учесть, чтосумма производных равна производной от суммы, примет вид

где — кинетическая энергия системы.

Аналогичные выражения получатся для всех остальных обобщенных сил инерции. В результате равенства (123) дадут окончательно

Уравнения (127) и представляют собой дифференциальные уравнения движения системы в обобщенных координатах или уравнениях Лагранжа Число этих уравнений, как видим, равно числу степеней свободы системы.

Уравнения Лагранжа дают единый и притом достаточно простой метод решения задач динамики. Важное преимущество этих уравнений состоит в том, что их вид и число не зависят ни от количества тел (или точек), входящих в рассматриваемую систему, ни от того, как эти тела движутся; определяется число уравнений Лагранжа только числом степеней свободы системы. Кроме того, при идеальных связях в правые части уравнений (127) входят обобщенные активные силы, и, следовательно, эти уравнения позволяют заранее исключить из рассмотрения все наперед неизвестные реакции связей.

Основная задача динамики в обобщенных координатах состоит в том, чтобы, зная обобщенные силы и начальные условия, найти закон движения системы в виде (107), т. е. определить обобщенные координаты как функции времени. Так как кинетическая энергия Т зависит от обобщенных скоростей , то при дифференцировании первых членов уравнений (127) по t в левых частях этих уравнений появятся вторые производные по времени q; от искомых координат. Следовательно, уравнения Лагранжа представляют собой обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка относительно обобщенных координат

Случай потенциальных сил. Если действующие на систему силы потенциальные, то, используя формулы (115), можно первое из уравнений (127) представить в виде

Последнее равенство справедливо потому, что потенциальная энергия П зависит только от координат а от обобщенных скоростей не зависит и .

Аналогично преобразуются все остальные уравнения системы (127). Введем функцию

Функция L от обобщенных координат и обобщенных скоростей, равная разности между кинетической и потенциальной энергиями системы, называется функцией Лагранжа или кинетическим потенциалом. Тогда в случае потенциальных сил уравнения Лагранжа примут вид

Из полученного результата следует, что состояние механической системы, на которую действуют потенциальные силы, определяется заданием одной только функции Лагранжа, так как, зная эту функцию, можно составить дифференциальные уравнения движения системы.

При соответствующем обобщении понятий, функции, аналогичные функции Лагранжа, описывают состояние других физических систем (непрерывной среды, гравитационного или электромагнитного поля и др.) Поэтому уравнения Лагранжа вида (129) играют важную роль в ряде областей физики.