§ 46. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ

Как уже указывалось, для решения задач кинематики надо знатв закон движения точки. Если движение задано естественным способом (дана траектория и закон движения вдоль траектории), то все характеристики движения (скорость, касательное, нормальное полное ускорение) определяются по формулам, полученным в § 42—44. Этими формулами можно, конечно, пользоваться и когдз движение задано другим способом.

Покажем, как можно найти касательное и нормальное ускорения точки, когда движение задано координатным способом, например, уравнениями (4). Для этого по формулам (12) — (15) находим и и а. Беря производную по времени от найденной скорости v, можно определить Но обычно это проще делать иначе.

Возьмем равенство и продифференцируем обе его части по получим Отсюда, учитывая равенства (14) и то, что находим окончательно

Теперь, зная определяем из равенства Одновременно можно найти радиус кривизны траектории из формулы Пример таких расчетов дан в задаче 53.

Задача 51. При небольших углах отклонения груз маятника (рис. 128) движется по окружности радиуса l по закону (начало отсчета в точке О,

А и k — постоянные величины). Найти скорость, касательное и нормальное ускорения груза и те положения, в которых эти величины обращаются в нуль.

Рис. 128

Решение. Пользуясь соответствующими формулами, находим:

Из закона движения следует, что груз совершает вдоль траектории гармонические колебания с дуговой амплитудой А. В крайних положениях (в точках и ) ± 1, а следовательно, Поэтому в точках скорость и нормальное ускорение обращаются в нуль; касательное же ускорение имеет здесь наибольшее по модулю значение

Когда груз приходит в начало отсчета О, то и, следовательно, . В этом положении имеют максимальные значения:

Из данного примера видно, что при криволинейном неравномерном движении в отдельных точках траектории или могут обращаться в нули. При этом в тех точках, т. е. там, например, где v имеет максимум или минимум, а в тех точках, где (как в нашем случае) или где (точка перегиба траектории).

Задача 52. Переход от координатного способа задания движения к естественному. Движение точки М задано в декартовых координатах уравнениями:

где — постоянные положительные величины, имеющие размерности: R — длины, — углового ускорения (см. § 49),

Перейти к естественному способу задания движения, т. е. определить траекторию и закон движения точки вдоль траектории в виде Накти также сксрость и ускорение точки.

Решение. Возведя каждое из уравнений (а) почленно в квадрат и затем сложив их, получим Следовательно, траекторией точки является окружность радиуса R с центром в начале координат. Из уравнений (а) видно, что при т. е. точка М находится на оси Примем это положение за начало отсчета О расстояния s; тогда при Когда у начинает возрастать, а — убывать, т. е. точка начинает двигаться по направлению к оси примем это направление за положительное направление отсчета расстояния s. Для определения зависимости найдем выражение Как иззестно, . Тогда и поскольку при

Из уравнений (а) находим Подставляя это выражение в равенство (б) и вынося постоянный множитель за знак интеграла, получим

Таким образом, точка движется по окружности радиуса R по закону Скорость точки

и растет пропорционально времени. Далее находим

Так как и знаки совпадают то движение точки является равноускоренным § 44, п. 4).

Наконец, по формулам (22) находим

Как видим, при Затем со временем величина а растет, а угол между вектором а и радиусом окружности убывает, стремясь к пулю.

Задача 53. Точка, получив направленную горизонтально скорость, движется по закону, определяемому уравнениями:

где и g — некоторые постоянные.

Найти траекторию, скорость и ускорение точки, а также ее касательное и нормальное мскоремя и радиус кривизны траектории в любом положении, выразив их через скорость в этом положении.

Решение. Определяя из первого уравнения t и подставляя во второе, получим

Траектория точки — парабола (рис. 129).

Дифференцируя уравнения движения по времени, найдема

откуда

Таким образом, в начальный момент времени скорость точки а затем с течением времени скорость непрерывно возрастает.

Найдем ускорение точки. По соответствующим формулам имеем:

Следовательно, ускорение точки

В данном случае точка движется с постоянным по модулю и направлению ускорением, параллельным оси (это ускорение силы тяжести). Обращаем внимание на то, что хотя здесь , движение точки не является равнопеременным, так как условием равнопеременного движения является не .

В этом же движении, как мы сейчас увидим, а не постоянно.

Рис. 129

Для определения воспользуемся формулой (30). Под. ставляя в нее значения соответствующих величин из равенств (а) и (в), получим

Но из равенства (б) и, следовательно

Подставляя это значение t, выразим через скорость

Отсюда следует, что в начальный момент времени, когда Затем, с увеличением v значение растет и при следовательно, в пределе величина касательного ускорения стремится к полному ускорению Для нахождения обратимся к зависимости Отсюда

и

Таким образом, в начальный момент времени а затем с увеличением и значение убывает, стремясь в пределе к нулю.

Для нахождения радиуса кривизны траектории воспользуемся формулой откуда

В начальный момент времени радиус кривизны имеет наименьшее значение а затем с увеличением v радиус кривизны растет и, следовательно, кривизна траектории уменьшается. При а кривизна стремится к нулю,