§ 69. СЛОЖЕНИЕ ВРАЩЕНИЙ ВОКРУГ ДВУХ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ОСЕЙ

Рассмотрим случай, когда относительное движение тела является вращением с угловой скоростью вокруг оси укрепленной на кривошипе (рис. 198, а), а переносное — вращением кривошипа вокруг оси параллельной с угловой скоростью Тогда движение тела будет плоскопараллельным по отношению к плоскости, перпендикулярной осям. Здесь возможны три частных случая.

1. Вращения направлены в одну сторону. Изобразим сечение S тела плоскостью, перпендикулярной осям (рис. 198, б). Следы осей в сечении 5 обозначим буквами А и В. Легко видеть, что точка А, как лежащая на оси получает скорость только от вращения вокруг оси ВЬ, следовательно, Точно так же

Рис. 198

При этом векторы параллельны друг другу (оба перпендикулярны АВ) и направлены в разные стороны. Тогда точка С (см. § 56, рис. 153, б) является мгновенным центром скоростей а следовательно, ось параллельная осям и ВЬ, является мгновенной осью вращения тела.

Для определения угловой скорости со абсолютного вращения тела вокруг оси и положения самой оси, т. е. точки С, Воспользуемся равенством [см. § 56, формула (57)]

Последний результат получается из свойств пропорции. Подставляя в эти равенства найдем окончательно:

Итак, если тело участвует одновременно в двух направленных в одну сторону вращениях вокруг параллельных осей, то его результирующее движение будет мгновенным вращением с абсолютной угловой скоростью вокруг мгновенной оси, параллельной данным; положение этой оси определяется пропорциями (98).

С течением времени мгновенная ось вращения меняет свое положение, описывая цилиндрическую поверхность.

2. Вращения направлены в разные стороны. Изобразим опять сечение S тела (рис. 199) и допустим для определенности, что шсоз. Тогда, рассуждая, как в предыдущем случае, найдем, что скорости точек А и В будут численно равны: при этом параллельны друг другу и направлены в одну сторону.

Тогда мгновенная ось вращения проходит через точку С (рис. 199), причем

Последний результат тоже получается из свойств пропорции. Подставляя в эти равенства значения найдем окончательно:

Итак, в этом случае результатирующее движение также является мгновенным вращением с абсолютной угловой скоростью вокруг оси положение которой определяется пропорциями (100).

3. Пара вращений. Рассмотрим частный случай, когда вращения вокруг параллельных осей направлены в разные стороны (рис. 200), но по модулю .

Рис. 199

Рис. 200

Рис. 201

Такая совокупность вращений называется парой вращений, а векторы образуют пару угловых скоростей. В этом случае получаем, Тогда (см. § 56, рис. 153, а) мгновенный центр скоростей находится в бесконечности и все точки тела в данный момент времени имеют одинаковые скорости .

Следовательно, результатирующее движение тела будет поступательным (или мгновенно поступательным) движением со скоростью, численно равной и направленной перпендикулярно плоскости, проходящей через векторы направление вектора v определяется так же, как в статике определялось направление момента пары сил (см. § 9). Иначе говоря, пара вращений эквивалентна поступательному (или мгновенно поступательному) движению со скоростью v, равной моменту пары угловых скоростей этих вращений.

Примером такого движения является поступательное движение велосипедной педали DE относительно рамы велосипеда (рис. 201), являющееся результатом относительного вращеиия педали вокруг оси А, укрепленной на кривошипе В А, и переносного вращения кривошипа ВА вокруг оси В.

Угловые скорости этих вращений направлены в разные стороны, а по модулю равны друг другу, так как в любой момент времеии угол поворота педали относительно кривошипа ВА равен углу поворота кривошипа. Скорость поступательного движения педали

Из того, что пара вращений эквивалентна поступательному движению, следует и обратный вывод: поступательное движение твердого тела эквивалентно паре вращений, у которой момент угловых скоростей этих вращений равен поступательной скорости тела.