§ 93. ОТКЛОНЕНИЕ ПАДАЮЩЕЙ ТОЧКИ ОТ ВЕРТИКАЛИ ВСЛЕДСТВИЕ ВРАЩЕНИЯ ЗЕМЛИ

Рассмотрим материальную точку, падающую с не очень большой (по сравнению с радиусом Земли) высоты Н на поверхность Земли. Силу тяжести Р при падении будем считать постоянной; сопротивлением воздуха пренебрегаем. Направим ось вертикально вверх, а ось Ох — на восток (рис. 252, а). Чтобы учесть вращение Земли, к точке кроме силы Р надо приложить силу направленную, как было установлено в первом приближении, на восток. Тогда дифференциальные уравнения относительного движения точки примут вид:

а начальные условия будут: при

Рис. 252

Интегрируя второе из уравнений определяя постоянные интегрирования по начальным условиям, найдем:

При вычислении модуля пренебрежем, как мы уже делали, определяя направление составляющей скорости по сравнению с (так как сила много меньше Р) и, отыскивая приближенное решение, будем считать При этом скорость v будет направлена по вертикали вниз (по линии МО на рис. 251) и образует с осью вращения Земли угол где А — широта.

Следовательно, и первое из уравнений (60) примет вид

Так как величина, стоящая в скобках, постоянная, то, интегрируя это уравнение, получим:

Подстановка начальных данных дает Таким образом, уравнения, приближенно определяющие закон относительного движения точки, будут:

Движение оказывается непрямолинейным и падающая точка действительно отклоняется к востоку. Исключив из предыдущих равенств время t, получим в первом приближении уравнение траектории точки (полукубическая парабола):

Полагая здесь найдем восточное отклонение которое точка будет иметь в момент падения на Землю:

Как видим, отклонение пропорционально угловой скорости Земли и является величиной малой. Например, на широте Москвы при падении с высоты величина см.

Ряд опытов, проведенных во многих пунктах Земли разными исследователями, подтверждает правильность результата, который дает формула (61).

Рассмотрим движение точки, брошенной из пункта О вертикально вверх с начальной скоростью Сила при подъеме будет в первом приближении направлена на запад. Тогда, если направить ось также на запад (рис. 252, б), то дифференциальные уравнения движения сохраняют вид (60), а начальные условия будут: при

При этих условиях второе из уравнений (60) дает:

(62)

Тогда, считая, как и в предыдущей задаче, приближенно получим и первое из уравнений (60) примет вид

Это уравнение будет описывать движение точки и при ее падении вниз, так как происходящее при этом изменение направления вектора учтется изменением знака множителя

Интегрируя полученное уравнение при начальных условиях задачи, найдем окончательно

Полагая в равенстве найдем время движения точки до момента ее падения на Землю:

Учитывая одновременно, что где — высота подъема, определим из уравнения (63) западное отклонение точки в момент падения:

Из формул (61) и (64) видно, что при отклонение

Если движение точки может продолжаться дальше (точка бросания О не на поверхности Земли), то траектория точки, начиная от пункта В, будет все время отклоняться на восток.

Все эти расчеты относятся, как было указано, к движению в безвоздушном пространстве и учитывают влияние вращения Земли только в первом приближении,