Глава XXIX. УСЛОВИЯ РАВНОВЕСИЯ И УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ В ОБОБЩЕННЫХ КООРДИНАТАХ

§ 142. ОБОБЩЕННЫЕ КООРДИНАТЫ И ОБОБЩЕННЫЕ СКОРОСТИ

Число координат (параметров), определяющих положение механической системы, зависит от количества точек (или тел), входящих в систему, и от числа и характера наложенных связей. Будем в дальнейшем рассматривать только системы с геометрическими связями (точнее только голономные системы). Как установлено в § 138, у такой системы число независимых координат, определяющих положение системы, совпадает с числом ее степеней свободы. В качестве этих координат можно выбирать параметры, имеющие любую размерность и любой геометрический (или физический) смысл, в частности отрезки прямых или дуг, углы, площади и т. п.

Независимые между собой параметры любой размерности, число которых равно числу степеней свободы системы и которые однозначно определяют ее положение, называют обобщенными координатами системы. Будем обозначать обобщенные координаты буквой q.

Тогда положение системы, имеющей s степеней свободы, будет определяться s обобщенными координатами

Поскольку обобщенные координаты между собой независимы, то элементарные приращения этих координат

также между собой независимы. При этом каждая из величин (105) определяет соответствующее, независимое от других возможное перемещение системы.

Как при всяком переходе от одной системы координат к другой, декартовы координаты любой точки рассматриваемой механической системы можно выразить через обобщенные координаты зависимостями вида: и т. д. Следовательно, и для радиуса-вектора этой точки, поскольку тоже будет

Пример 1. Плоский математический маятник (рис. 364) имеет одну степень свободы следовательно, его положение определяется одной обобщенной координатой q В качестве этой координаты здесь можно выбрать или угол (р, или длину S дуги AM, или (так как движение происходит в одной плоскости) площадь а сектора ОАМ, указав во всех случаях положительное и отрицательное направления отсчета каждой из этих координат. Выбор в качестве обобщенной координаты абсциссы точки М будет неудачным, так как эта координата не определяет положение точки М. однозначно (при данном значении маятник может быть отклоненным от вертикали вправо влево).

Если в качестве обобщенной координаты выбрать угол то возможное перемещение маятника получим сообщив углу приращение . Декартовы координаты точки М можно выразить через в виде . Тогда, в соответствии с равенством (106) и

Рис. 364

Рис. 365

Пример 2. Двойной плоский маятник (рис. 365) имеет две степени свободы и в качестве обобщенных координат можно выбрать углы Эти углы между собой независимы, так как можно изменять угол сохраняя неизменным и наоборот. Величины определяют независимые между собой возможные перемещения системы.

Выражения декартовых координат точек А и В через обобщенные даются равенствами вида: и т. д., где Следовательно, в соответствии с равенством (106)

При движении системы ее обобщенные координаты будут с течением времени непрерывно изменяться, и закон этого движения определится уравнениями:

Уравнения (107) представляют собой кинематические уравнения движения системы в обобщенных координатах.

Производные от обобщенных координат по времени называются обобщенными скоростями системы. Обозначим обобщенные скорости символами

где и т. д. Размерность обобщенной скорости зависит от размерности соответствующей обобщенной координаты. Если q — линейная величина, то q — линейная скорость; если q — угол, то q — угловая скорость; если q — площадь, то q — секторная скорость и т. д. Как видим, понятием об обобщенной скорости охватываются все встречавшиеся нам ранее в кинематике понятия о скоростях.