§ 144. УСЛОВИЯ РАВНОВЕСИЯ СИСТЕМЫ В ОБОБЩЕННЫХ КООРДИНАТАХ

Согласно принципу возможных перемещений необходимым и достаточным условием равновесия механической системы является равенство нулю суммы элементарных работ всех активных сил (и сил трения если они совершают работу) на любом возможном перемещении системы, т. е. условие обобщенных координатах это условие, согласно равенству (112), дает

Так как все величины между собой независимы, то равенство (116) может выполняться тогда и только тогда, когда каждый из коэффициентов при в отдельности равен нулю, т. е.

В самом деле, если допустить, что одна из этих величин, например не равна нулю, то всегда можно сообщить системе такое возможное перемещение, при котором и мы придем к противоречию с условием (116).

Таким образом, для равновесия механической системы необходимо и достаточно, чтобы все обобщенные силы, соответствующие выбранным для системы обобщенным координатам, были равны нулю. Число условий равновесия (117) равно, как видим, числу обобщенных координат, т. е. числу степеней свободы системы.

Из сравнения метода вычисления обобщенных сил (см. § 143) и способа решения задач, которым пользовались в § 140, видно, что по существу при решении задач с помощью принципа возможных перемещений мы вычисляли соответствующие обобщенные силы, а затем приравнивали их нулю.

Рассмотрим еще два примера.

1. Условием равновесия системы, изображенной на рис. 366, будет или . Поскольку при вычислении было принято, что то условие дает наибольшее значение при котором груз А не опускается; т. е. определяет предельное положение равновесия (см, § 25). Система будет в равновесии и при ,

2. Для системы, изображенной на рис. 367, из условий равновесия получаем очевидный результат, при равновесии

Случайпотенциальных сил. В этом случае услозия равновесия (117), если учесть равенства (114) и (115), дают:

или

Отсюда следует, что при равновесии полный дифференциал функций равен нулю, т. е.

Равенства (118) или (119) выражают необходимые условия экстремума функции нескольких переменных. Следовательно, система, на которую действуют потенциальные силы, в тех положениях, для которых силовая функция или потенциальная энергия системы имеет экстремум (в частности, минимум или максимум), находится в равновесии. Вопрос об устойчивости этих положений равновесия будет рассмотрен в § 147.