§ 150. МАЛЫЕ СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМЫ С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ

Колебания системы с несколькими степенями свободы, имеющие важные практические приложения, отличаются от колебаний системы с одной степенью свободы рядом существенных особенностей. Чтобы дать представление об этих особенностях, рассмотрим случай свободных колебаний системы с двумя степенями свободы.

Пусть положение системы определяется обобщенными координатами и при система находится в устойчивом равновесии. Тогда кинетическую и потенциальную энергии системы с точностью до квадратов малых величин можно найти так же, как были найдены равенства (132), (133), и представить в виде:

где инерционные коэффициенты и квазиупругие коэффициенты — величины постоянные. Если воспользоваться двумя уравнениями Лагранжа вида (131) и подставить в них эти значения Т и П, то получим следующие дифференциальные уравнения малых колебаний системы с двумя степенями свободы

Будем искать решение уравнений (145) в виде:

где A, B, k, a — постоянные величины. Подставив эти значения в уравнения (145) и сократив на получим

Чтобы уравнения (147) давали для А и В решения, отличные от иуля, определитель этой системы должен быть равен нулю или, иначе, коэффициенты при A и В в уравнениях должны быть пропорциональны, т. е.

Отсюда для определения получаем следующее уравнение, называемое уравнением частот.

(149)

Корни этого уравнения вещественны и положительны; это доказывается математически, но может быть обосновано и тем, что иначе не будут вещественны уравнения (145) не будут иметь решений вида (146), чего для системы, находящейся в устойчивом равновесии, быть не может (после возмущений она должна двигаться вблизи положения

Определив нз (149) , найдем две совокупности частных решений вида (146). Если учесть, что согласно эти решения будут:

где и — значения, которые я получает из (148) при и соответственно.

Колебания, определяемые уравнениями (150) и (151), называются главными колебаниями, а их частоты и кг — собственными частотами системы. При этом, колебание с частотой (всегда меныией) называют первым главным колебанием, а с частотой — вторым главным колебанием. Числа определяющие отношения амплитуд (или самих координат, т. е. ) в каждом из этих колебаний, называют коэффициентами формы.

Так как уравнения (145) являются линейными, то суммы частных решений (150) и (151) тоже будут решениями этих уравнений:

Равенства (152), содержащие четыре произвольных постоянных определяемых по начальным условиям, дают общее решение уравнений (145) и определяют закон малых колебаний системы. колебания слагаются из двух главных колебаний с частотами и не являются гармоническими. В частных случаях, при соответствующих начальных условиях, система может совершать одно из главных колебаний (например, первое, если ) и колебание будет гармоническим.

Собственные частоты и коэффициенты формы не зависят от начальных условий и являются основными характеристиками малых колебаний системы; решение конкретных задач обычно сводится к определению этих характеристик.

Сопоставляя результаты этого и предыдущего параграфов, можно получить представление о том, к чему сведется исследование затухающих и вынужденных колебаний системы с двумя степенями свободы. Мы этого рассматривать не будем, отметим лишь, что при вынужденных колебаниях резонанс у такой системы может возникать дважды: при и при ( — частота возмущающей силы). Наконец, отметим, что колебания системы с s степенями свободы будут слагаться из s колебаний с частотами которые должны определяться из уравнения степени s относительно Это связано со значительными математическими трудностями, преодолеть которые можно с помощью электронных вычислительных (или аналоговых) машин.

Рис. 374

Задача 185. Определить собственные частоты и коэффициенты формы малых колебаний двойного физического маятника, образованного стержнями и 2 одинаковой массы и длины l (рис. 374, а).

Решение. Выберем в качестве обобщенных координат малые углы . Тогда , где и, при требуемой точности подсчетов, . В итоге

Далее или, полагая

Из равенств (а) и (б) видно, каковы здесь значения При этих значениях коэффициентов уравнение частот (149) примет вид

Его корнями будут: откуда

Подставляя теперь в любое из отношений, стоящих в левой части равенства (148), сначала а затем получим

Таким образом, при первом главном колебании оба стержня будут в каждый момент времени отклонены от вертикали в одну же сторону (рис. 374, а) и а при втором главном колебании — в разные стороны (рис. 374, б)