1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 391 392 393 394 395 396 397 398 399 400 401 402 403 404 405 406
Макеты страниц
§ 146. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧУравнениями Лагранжа, как уже указывалось, можно пользоваться для изучения движения любой механической системы с геометрическими или сводящимися к геометрическим (голономными) связями, независимо от того, сколько тел (или точек) входит в систему, как движутся эти тела и какое движение (абсолютное или относительное) рассматривается. Чтобы для данной механической системы составить уравнения Лагранжа, надо: 1) установить число степеней свободы системы и выбрать обобщенные координаты (см. § 142); 2) изобразить систему в произвольном положении и показать на рисунке все действующие силы (для систем с идеальными связями только активные); 3) вычислить обобщенные силы Q, путем, указанным в § 143; при этом во избежание ошибок в знаках каждое сообщаемое системе возможное перемещение должно быть направлено так, чтобы приращение соответствующей координаты было положительным; 4) определить кинетическую энергию Т системы в ее абсолютном движении и выразить эту энергию через обобщенные координаты Указанным путем уравнения Лагранжа составляются независимо от того, рассматривается ли абсолютное (по отношению к инерциальной системе отсчета) или относительное движение механической системы. Но в последнем случае возможен и другой путь, а именно кинетическую энергию системы определять в ее относительном движении, но зато при нахождении обобщенных сил присоединить к силам, действующим на систему, переносные силы инерции (чего при использовании первого пути делать не надо). Из полученных уравнений, если заданы действующие силы и начальные условия, можно, интегрируя эти уравнения, найти закон движения системы в виде (107). Если же задан закон движения, то составленные уравнения позволяют определить действующие силы. Когда все приложенные к системе силы являются потенциальными, уравнения Лагранжа можно составлять в виде (129). При этом вместо вычисления обобщенных сил надо определить потенциальную энергию системы, выразив ее через обобщенные координаты, и затем, определив еще и кинетическую энергию, составить функцию Лагранжа (128). Начнем с задачи, позволяющей легко уяснить порядок составления уравнений Лагранжа. Задача 175. Составить, пользуясь методом Лагранжа, дифференциальное уравнение колебаний физического маятника (см. § 129). Решение. Маятник имеет одну степень свободы и его положение определяется углом В данном случае, поскольку Т от угла Подставляя найденные величины в уравнение (а), получим т. е. тот же результат, что и в § 129. Поскольку сила тяжести Р потенциальная, то уравнение Лагранжа можно составить в виде (129). Направляя ось Oz вертикально вниз, имеем в данном случае В результате уравнение (129) также дает Задача 176. Решить с помощью уравнений Лагранжа задачу 143 (см. § 124). Решение. Механизм имеет одну степень свободы (см рис. 314) и его положение определяется координатой Величина Т для механизма также была найдена (формула (б) в задаче 143), Учитывая, что откуда Подстановка в уравнение Лагранжа дает окончательно т. е. тот же результат, что и в задаче 143. Обращаем внимание на то, что для системы с одной степенью свободы составление дифференциального уравнения движения методом Лагранжа сводится по существу к тем же расчетам, что и при использовании теоремы об изменении кинетической энергии. Задача 177. Найти закон движения шарика В массой Решение. Система имеет две степени свободы. В качестве обобщенных координат выберем координату Найдем сначала Кинетическая энергия системы слагается из энергии Учтя еще, что Отсюда Подставляя эти величины и значения Интегрируя первое из уравнений (в) и определяя постоянные интегрирования по начальным условиям задачи (при Второе из равенств (в) определяет искомый момент (нетрудно видеть, что он равен моменту кориолисовой силы инерции). Если с помощью уравнения ( Заметим, что для шарика здесь решалась основная задача динамики (определение закона движения по заданным силам), причем изучалось его относительное движение, но так как значение Т находилось для абсолютного движения системы то вводить силы инерции не понадобилось; для трубки же, наоборот, по заданному движению определялся момент действующей силы (или пары сил). Рис. 368 Рис. 369 Задача 178. Масса тележки 1 равна Решение. Система имеет две степени свободы (независимы перемещение катка относительно тележки и перемещение самой тележки). В качестве обобщенных координат выберем координату Кинетическая энергия тележкн Тогда Для определения обобщенных сил дадим сначала системе возможное перемещение, при котором координата Подставляя эти значения Из последнего уравнения Если каток был бы на тележке закреплен неподвижно, то ее ускорение, очевидно, равнялось бы Отметим еще один результат. Допустим, что трения катка о тележку нет. Тогда он по тележке будетскользить, двигаясь поступательно, и Легко видеть, что первое из уравнений ( Объясняется такой результат тем, что при отсутствии трения тележка не увлекает с собой катка и движется так, как если бы катка на ней вообще не было Задача 179. На барабан I, имеющий радиус R и массу К барабану приложена пара сил с моментом Решение. У системы две степени свободы. Выберем в качестве обобщенных координат угол Изобразив действующие силы ( Кинетическая энергия системы Рис. 370 Отсюда Подставляя величины (в) и (б) в равенства (а), получим: Это будут искомые уравнения. Сложив их почленно, получим Абсолютное движение груза происходит по закону Задача 180. К оси В однородного катка весом Р, который может кататься без скольжения вдоль горизонтальной плоскости, прикреплен шарнирно однородный стержень BD длиной Рис. 371 Решение. Система имеет две степени свободы. Выберем в качестве обобщенных координат расстояние Так как действующие на систему силы потенциальные (силы тяжести), составим для нее уравнения Лагранжа в виде (129): где Кинетическая энергия системы Здесь Окончательно найдем следующее выражение для функции Лагранжа; откуда Подставляя эти величины в равенства (а), получим после очевидных сокращений следующие дифференциальные уравнения движения системы: Перейдем теперь к отысканию закона малых колебаний системы. При этом считаем угол Чтобы составить дифференциальные уравнения малых колебаний системы, надо в уравнениях (б) сохранить только члены порядка Отсюда, вычисляя производные, иайдем окончательно следующие дифференциальные уравнения малых колебаний рассматриваемой системы: Определив из первого уравнения где Интегрируя уравнение (г) и определяя постоянные интегрирования по начальным условиям задачи (при Интегрируя теперь первое из уравнений (в) и учитывая, что при Замена здесь Уравнения Такой сравнительно простой результат получился в данной задаче потому, что здесь Задача 181. Составить уравнения движения симметричного гироскопа в форме Лагранжа. Рассмотреть случай медленной прецессии. Решение. Гироскоп имеет три степени свободы. В качестве обобщенных координат выберем углы Эйлера Тогда уравнения Лагранжа будут: Кинетическая энергия гироскопа определяется формулой (79) из § 132. Считаем, как всегда, ось Чтобы выразить Т в обобщенных координатах, воспользуемся кинематическими уравнениями Эйлера (см. § 61): Из этих уравнений Подставляя обе эти величины в равенство (б), найдем Тогда учитывая, что Для подсчета обобщенных сил обратимся к рис. 172. Если координате Подставляя все вычисленные величины в равенства (а), получим окончательно следующие дифференциальные уравнения движения гироскопа в форме Лагранжа; где В отличие от уравнений Эйлера (см. § 132, п. 3) эти уравнения определяют движение только симметричного тела, для которого В частном случае, когда на гироскоп действует только сила тяжести Р, приложенная в какой-то точке С на оси Случай медленной прецессии. Рассмотрим случай, когда Тогда первые два из уравнений (в) дают Результат совпадает с тем, который дает элементарная теория гироскопа [см. § 131, формула (76)].
|
Оглавление
|