§ 146. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ

Уравнениями Лагранжа, как уже указывалось, можно пользоваться для изучения движения любой механической системы с геометрическими или сводящимися к геометрическим (голономными) связями, независимо от того, сколько тел (или точек) входит в систему, как движутся эти тела и какое движение (абсолютное или относительное) рассматривается.

Чтобы для данной механической системы составить уравнения Лагранжа, надо: 1) установить число степеней свободы системы и выбрать обобщенные координаты (см. § 142); 2) изобразить систему в произвольном положении и показать на рисунке все действующие силы (для систем с идеальными связями только активные);

3) вычислить обобщенные силы Q, путем, указанным в § 143; при этом во избежание ошибок в знаках каждое сообщаемое системе возможное перемещение должно быть направлено так, чтобы приращение соответствующей координаты было положительным; 4) определить кинетическую энергию Т системы в ее абсолютном движении и выразить эту энергию через обобщенные координаты и обобщенные скорости подсчитать соответствующие частные производные от Т по и подставить все значения в уравнения (127).

Указанным путем уравнения Лагранжа составляются независимо от того, рассматривается ли абсолютное (по отношению к инерциальной системе отсчета) или относительное движение механической системы. Но в последнем случае возможен и другой путь, а именно кинетическую энергию системы определять в ее относительном движении, но зато при нахождении обобщенных сил присоединить к силам, действующим на систему, переносные силы инерции (чего при использовании первого пути делать не надо).

Из полученных уравнений, если заданы действующие силы и начальные условия, можно, интегрируя эти уравнения, найти закон движения системы в виде (107). Если же задан закон движения, то составленные уравнения позволяют определить действующие силы.

Когда все приложенные к системе силы являются потенциальными, уравнения Лагранжа можно составлять в виде (129). При этом вместо вычисления обобщенных сил надо определить потенциальную энергию системы, выразив ее через обобщенные координаты, и затем, определив еще и кинетическую энергию, составить функцию Лагранжа (128).

Начнем с задачи, позволяющей легко уяснить порядок составления уравнений Лагранжа.

Задача 175. Составить, пользуясь методом Лагранжа, дифференциальное уравнение колебаний физического маятника (см. § 129).

Решение. Маятник имеет одну степень свободы и его положение определяется углом (см. рис. 324). Следовательно, . Сообщая углу положительное приращеине найдем, что на этом перемещении работу совершает только сила тяжести Р и где Поэтому Кинетическая энергия маятника или (напоминаем, что величина Т должна быть выражена через обобщенную скорость, а . Уравнение Лагранжа, так как имеет

В данном случае, поскольку Т от угла не зависит,

Подставляя найденные величины в уравнение (а), получим

т. е. тот же результат, что и в § 129.

Поскольку сила тяжести Р потенциальная, то уравнение Лагранжа можно составить в виде (129). Направляя ось Oz вертикально вниз, имеем в данном случае . Тогда по формуле (128).

В результате уравнение (129) также дает

Задача 176. Решить с помощью уравнений Лагранжа задачу 143 (см. § 124).

Решение. Механизм имеет одну степень свободы (см рис. 314) и его положение определяется координатой Сообщая углу приращение найдем, что на этом перемещении элементарная работа будет иметь выражение, совпадающее с выражением в задаче 143, если только заменить в нем на Следовательно,

Величина Т для механизма также была найдена (формула (б) в задаче 143), Учитывая, что получим

откуда

Подстановка в уравнение Лагранжа дает окончательно

т. е. тот же результат, что и в задаче 143.

Обращаем внимание на то, что для системы с одной степенью свободы составление дифференциального уравнения движения методом Лагранжа сводится по существу к тем же расчетам, что и при использовании теоремы об изменении кинетической энергии.

Задача 177. Найти закон движения шарика В массой вдоль трубки ОА, вращающейся равномерно в горизонтальной плоскости с угловой скоростью (рис. 368). В начальный момент шарик находится от оси О на расстоянии и его скорость вдоль трубки равна нулю. Наити также, какой при этом действует на трубку вращающий момент

Решение. Система имеет две степени свободы. В качестве обобщенных координат выберем координату определяющую относительное движение шарика, и угол поворота трубки Тогда уравнения Лагранжа будут иметь вид.

Найдем сначала На перемещении, при котором координата получает приращение действующие силы работу не совершают (трубка вращается в горизонтальной плоскости), следовательно, На перемещении, при котором угол получает приращение Таким образом:

Кинетическая энергия системы слагается из энергии шарика и энергии трубки. Энергию определяем для абсолютного движения шарика. Тогда , где — абсолютная скорость шарика, причем векторно . В данном случае численно и так как , то

Учтя еще, что где — момент инерции трубки, получим окончательно

Отсюда

Подставляя эти величины и значения из равенств (б) в уравнения (а) и учтя одновременно, что по условиям задачи , получим:

Интегрируя первое из уравнений (в) и определяя постоянные интегрирования по начальным условиям задачи (при ), найдем окончательно следующий закон движения шарика вдоль трубки.

Второе из равенств (в) определяет искомый момент (нетрудно видеть, что он равен моменту кориолисовой силы инерции). Если с помощью уравнения () выразить через то найдем следующую зависимость от координаты шарика:

Заметим, что для шарика здесь решалась основная задача динамики (определение закона движения по заданным силам), причем изучалось его относительное движение, но так как значение Т находилось для абсолютного движения системы то вводить силы инерции не понадобилось; для трубки же, наоборот, по заданному движению определялся момент действующей силы (или пары сил).

Рис. 368

Рис. 369

Задача 178. Масса тележки 1 равна а масса находящегося на ней сплошного цилиндрического катка 2 равна Определить, с каким ускорением будет двигаться тележка вдоль горизонтальной плоскости под действием приложенной к ней силы F (рис. 369), если каток при этом катится по тележке без скольжения, Массой колес тележки пренебречь.

Решение. Система имеет две степени свободы (независимы перемещение катка относительно тележки и перемещение самой тележки). В качестве обобщенных координат выберем координату тележки и координату s центра масс С катка относительно тележки. Тогда уравнения Лагранжа для системы будут:

Кинетическая энергия тележкн , а катка , где — абсолютная скоростьцентра С катка и численно . Так как для сплошного цилиндра , а при качении без скольжения , где s — относительная скорость центра отношению к тележке (считать здесь было бы ошибкой), то окончательно получим

Тогда

Для определения обобщенных сил дадим сначала системе возможное перемещение, при котором координата получает приращение . На этом перемещении На перемещении же, при котором s получает приращение очевидно, Следовательно,

Подставляя эти значения и значения производных, определяемые формулами (в), в равенства (а), найдем следующие дифференциальные уравнения движения системы:

Из последнего уравнения и тогда первое уравнение дает окончательно для ускорения тележки значение

Если каток был бы на тележке закреплен неподвижно, то ее ускорение, очевидно, равнялось бы

Отметим еще один результат. Допустим, что трения катка о тележку нет. Тогда он по тележке будетскользить, двигаясь поступательно, и . В результате для системы

Легко видеть, что первое из уравнений () при этом не изменится, а второе, так как теперь примет вид и дает . В результате из первого уравнения системы () находим для ускорения тележки значение

Объясняется такой результат тем, что при отсутствии трения тележка не увлекает с собой катка и движется так, как если бы катка на ней вообще не было

Задача 179. На барабан I, имеющий радиус R и массу распределенную по его ободу, намотан тросик, к которому посредством пружины с коэффициентом жесткости с прикреплен груз 2 массой (рис. 370; включением такой пружины можно моделировать упругость тросика).

К барабану приложена пара сил с моментом Составить для системы уравнения Лагранжа и определить частоту колебаний, сопровождающих движение тел системы.

Решение. У системы две степени свободы. Выберем в качестве обобщенных координат угол поворота барабана и удлинение пружины Тогда уравнения Лагранжа будут.

Изобразив действующие силы ( — снлы упругости пружины, численно ), иайдем сначала и . Сообщая системе возможное перемещение, при котором и учтя, что на этом перемещении сумма работ и F равна нулю, получим Для другого независимого возможного перемещения будет Следовательно,

Кинетическая энергия системы где . В данном случае . Тогда

Рис. 370

Отсюда

Подставляя величины (в) и (б) в равенства (а), получим:

Это будут искомые уравнения. Сложив их почленно, получим , а исключив из этого равенства и равенства (д) , найдем следующее дифференциальное уравнение относительных колебаний груза, совершаемых с частотой k:

Абсолютное движение груза происходит по закону Это движение тоже сопровождается колебаниями с частой k. Колебаниями с такой же частотой сопровождается и вращение барабана.

Задача 180. К оси В однородного катка весом Р, который может кататься без скольжения вдоль горизонтальной плоскости, прикреплен шарнирно однородный стержень BD длиной и весом (рис. 371). Составить дифференциальные уравнения движения системы и найти закон ее малых колебаний, если в начальный момент стержень отклоняют от равновесного положения на малый угол и отпускают без начальной скорости.

Рис. 371

Решение. Система имеет две степени свободы. Выберем в качестве обобщенных координат расстояние центра цилиндра от его начального положения и угол отклонения стержня от вертикали

Так как действующие на систему силы потенциальные (силы тяжести), составим для нее уравнения Лагранжа в виде (129):

где — функция Лагранжа. Потенциальной энергией системы будет

Кинетическая энергия системы Значение для рассматриваемого случая вычислено в задаче 136 (см. § 121). Учитывая полученный там результат и формулу (44), а также то, что для стержня получаем:

Здесь где численно следовательно (рис. 371),

Окончательно найдем следующее выражение для функции Лагранжа;

откуда

Подставляя эти величины в равенства (а), получим после очевидных сокращений следующие дифференциальные уравнения движения системы:

Перейдем теперь к отысканию закона малых колебаний системы. При этом считаем угол и смещение малыми величинами одного и того же порядка т. е. полагаем, что , где — малая величина, a — некоторые функции от времени (ограниченные вместе с их производными), определяющие закон колебаний. Очевидно, что при этом и скорости будут также малыми величинами порядка е.

Чтобы составить дифференциальные уравнения малых колебаний системы, надо в уравнениях (б) сохранить только члены порядка , а малые более высокого порядка отбросить. Для этого в слагаемом которое входит в первое из уравнений, надо положить а во втором уравнении принять и член отбросить целиком как имеющий порядок . В результате уравнения (б) примут вид

Отсюда, вычисляя производные, иайдем окончательно следующие дифференциальные уравнения малых колебаний рассматриваемой системы:

Определив из первого уравнения и подставив его значение во второе уравнение, получим

где

Интегрируя уравнение (г) и определяя постоянные интегрирования по начальным условиям задачи (при ), найдем окончательно

Интегрируя теперь первое из уравнений (в) и учитывая, что при получим

Замена здесь его значением из равенства () дает

Уравнения и определяют закон малых колебаний системы. Частота k этих колебаний дается равенством (д).

Такой сравнительно простой результат получился в данной задаче потому, что здесь . Вообще же, колебания системы с двумя степенями свободы оказываются значительно более сложными и слагаются из колебаний с двумя разными частотами (см. § 150).

Задача 181. Составить уравнения движения симметричного гироскопа в форме Лагранжа. Рассмотреть случай медленной прецессии.

Решение. Гироскоп имеет три степени свободы. В качестве обобщенных координат выберем углы Эйлера (см. рис. 172 в § 60).

Тогда уравнения Лагранжа будут:

Кинетическая энергия гироскопа определяется формулой (79) из § 132. Считаем, как всегда, ось направленной по оси симметрии гироскопа. Тогда и

Чтобы выразить Т в обобщенных координатах, воспользуемся кинематическими уравнениями Эйлера (см. § 61):

Из этих уравнений

Подставляя обе эти величины в равенство (б), найдем

Тогда учитывая, что получим:

Для подсчета обобщенных сил обратимся к рис. 172. Если координате сообщить приращение то гироскоп совершит элементарный поворот вокруг оси Элементарная работа при таком повороте , где главный момент всех действующих сил относительно оси . Следовательно, . Аналогичным путем, учитывая, что при изменении угла гироскоп совершает поворот вокруг оси а при изменении угла — вокруг линии узлов ОК, найдем, что

Подставляя все вычисленные величины в равенства (а), получим окончательно следующие дифференциальные уравнения движения гироскопа в форме Лагранжа;

где

В отличие от уравнений Эйлера (см. § 132, п. 3) эти уравнения определяют движение только симметричного тела, для которого но зато они проще, чем совокупность динамических и кинематических уравнений Эйлера.

В частном случае, когда на гироскоп действует только сила тяжести Р, приложенная в какой-то точке С на оси (см. рис, 172; точка С на нем не показана), и расстояние а ось вертикальна, будет

Случай медленной прецессии. Рассмотрим случай, когда

Тогда первые два из уравнений (в) дают , а из третьего уравнения, пренебрегая малой величиной, содержащей находим

Результат совпадает с тем, который дает элементарная теория гироскопа [см. § 131, формула (76)].