§ 35. ЦЕНТРЫ ТЯЖЕСТИ НЕКОТОРЫХ ОДНОРОДНЫХ ТЕЛ

1. Центр тяжести дуги окружности. Рассмотрим дугу АВ радиуса R с центральным углом . В силу симметрии центр тяжести этой дуги лежит на оси (рис. 109). Найдем координату по формулам (66). Для этого выделим на дуге АВ элемент ММ длиной положение которого определяется углом Координата элемента ММ будет Подставляя эти значения в первую из формул (66) и имея в виду, что интеграл должен быть распространен на всю длину дуги, получим:

где длина дуги АВ, равная . Отсюда окончательно находим, что центр тяжести дуги окружности лежит на ее оси симметрии на расстоянии от центра О, равном

где угол а измеряется в радианах.

2. Центр тяжести площади треугольника.

Рис. 109

Рис. 110

Разобьем площадь треугольника ABD (рис. 110) прямыми, параллельными стороне на узких полосок; центры тяжести этих полосок будут лежать на медиане BE треугольника. Следовательно, и центр тяжести всего треугольника лежит на этой медиане. Аналогичный результат получается для двух других медиан.

Отсюда заключаем, что центр тяжести площади треугольника лежит в точке пересечения его медиан. При этом, как известно,

3. Центр тяжести площади кругового сектора. Рассмотрим круговой сектор ОАВ радиуса R с центральным углом (рис. 111). Разобьем мысленно площадь сектора ОАВ радиусами, проведенными из центра О, на секторов.

Рис. 111

Рис. 112

Рис. 113

В пределе, при неограниченном увеличении числа , эти секторы можно рассматривать как плоские треугольники, центры тяжести которых лежат на дуге DE радиуса Следовательно, центр тяжести сектора ОАВ совпадает с центром тяжести дуги DE, положение которого найдется по формуле (67). Окончательно получим, что центр тяжести площади кругового сектора лежит на его оси симметрии на расстоянии от центра О, равном

Приведем без доказательств еще два результата.

4. Центр тяжести объема пирамиды (или конуса). Этот центр С лежит на прямой (рис. 112), где Е — вершина, а — центр тяжести площади основания пирамиды; при этом

Результат справедлив для любой многоугольной пирамиды и для конуса.

5. Центр тяжести объема полушара. Этот центр С лежит на оси (оси симметрии, рис. 113), а его координата

где R — радиус полушара.

Формулы, определяющие координаты центров тяжести других однородных тел, можно найти в различных технических справочниках.