§ 125. СМЕШАННЫЕ ЗАДАЧИ

В ряде случаев получить решение задачи с помощью одной из общих теорем не удается, но решение легко находится, если использовать одновременно, например, две общие теоремы. Несколько таких задач и рассматривается ниже.

Задача 145. Горизонтальная трубка АВ, масса которой и радиус инерции относительно вертикальной оси известны, вращается вокруг этой оси с угловой скоростью (рис. 315). В некоторый момент времени находящийся в трубке шарик массой чуть смещенный от точки А, начинает двигаться без начальной скорости вдоль трубки. Пренебрегая сопротивлениями, найтн скорость и шарика относительно трубки как функцию его расстояния от оси

Рис. 315

Решение. Рассмотрим систему трубка — шарик. Так как сопротивлениями (в том числе силами трения) здесь пренебрегают, то при движении системы работа действующих на нее сил тяжести и реакций связей равна нулю. Следовательно, из уравнения (50) получим

В момент шарик находится в точке А и его абсолютная скорость равна нулю. В произвольный момент времени угловая скорость трубки равна и, а скорость шарика слагается из относительной, численно равной v, и ей перпендикулярной переносной, численно равной Поэтому

Подстановка этих величин в равенство дает

Для определения неизвестной величины воспользуемся теоремой моментов относительно оси Так как здесь то или

откуда

Подставляя это значение в равенство (а), найдем окончательно

Интересно отметить, что с увеличением скорость стремится к предельному значению

Задача 146. Однородный сплошной круговой цилиндр кассой и радиусом , находящийся в наивысшей точке цилиндрической поверхности радиусом R и чуть смещенный из этого положения, начинает катиться вниз без начальной скорости (рис. 316). Найти, при каком значении угла цилиндр оторвется от поверхности; обе поверхности абсолютно шероховаты (имеют насечку).

Рис. 316

Рис. 317

Решение. Отрыв произойдет в точке, где реакция N поверхности обратится в нуль. Чтобы найти значение воспользуемся теоремой о движении центра масс, составив уравнение (16) в проекции на главную нормаль к траектории центра масс С. Получим, учтя, что центр С движется по окружности радиуса

Для определения воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии. Так как а значение Т для катящегося цилиндра было найдено в задаче 136 (см. § 121) и равно то

Подставляя отсюда значение в уравнение (а), найдем

Следовательно, отрыв произойдет в точке, определяемой равенством

Положение точки отрыва, как и величина N, от значений R и не зависят.

Задача 147. К ползуну 1 массой который может перемещаться по гладким горизонтальным направляющим, шарнирно прикреплен стержень 2 длиной l и массой (рис. 317).

В начальный момент времени стержень отклоняют до горизонтального положения и отпускают без начальной скорости. Пренебрегая трением в оси шарнира, определить, какую скорость будет иметь ползун в момент прохождения стержня через вертикаль.

Решение. Рассматривая систему ползун — стержень, применим к пей теорему об изменении кинетической энергии на перемещении, при котором стержень приходит из положения в положение . Получим, учтя, что

Здесь , где и, согласно формулам (44) или (45), . В последнем равенстве — угловая скорость стержня, — скорость его центра масс, причем кроме того, как было найдено в задаче

В результате уравнение (а), если поделить обе его части на примет вид

Для определения воспользуемся теоремой об изменении количества движения систем. Так как в данном случае , а в начальный момент система находилась в покое, получим , т. е.

Подставив это значение в равенство (б), найдем окончательно

Задача 148. По наклонной грани призмы 1 массой стоящей на гладкой горизонтальной плоскости, начинает скользить (без трения) груз 2 массой (рис. 318). Угол наклона грани равен а. Найти, с каким ускорением будет при этом двигаться призма.

Рис. 318

Решение. Рассмотрим систему груз — призма и применим к ней теорему о движении центра масс. В проекции на горизонтальную ось Ох будет и, следовательно, .

Обозначая координату призмы через и определяя положение груза на призме координатой s, получим а). Так как , то отсюда

Значение s можно было бы опять определить с помощью теоремы об изменении кинетической энергии, но в данном случае проще составить дифференциальное уравнение относительного движения груза [уравнение (56) из § 91] в проекции на ось . Так как подвижная система отсчета вместе с призмой перемещается поступательно, то где — ускорение призмы Тогда , и в проекции на ось получим

Подставив это значение в равенство (а), найдем искомое ускорение призмы