§ 67. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ

Макеты страниц

§ 67. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ

А. Переносное движение поступательное. В случае, когда переносное движение является поступательным, характер задач и методы их решения аналогичны задачам на сложение скоростей (см. § 65).

Задача 77. Клип, движущийся прямолинейно по горизонтальной плоскости с ускорением перемещает вдоль вертикальных направляющих стержень DE (рис. 192). Определить ускорение стержня, если угол клина равен а.

Решение. Абсолютное ускорение точки D стержня направлено по вертикали вверх. Его можно рассматривать как слагающееся из относительного ускорения направленного вдоль щеки клина, и переносного ускорения апер, равного ускорению клина (так как переносное движение, т. е. движение клипа, является поступательным). Строя на основании равенства (95) соответствующий параллелограмм и учитывая, что найдем

Величина и определяет ускорение стержня.

Б. Переносное движение вращательное. Покажем, как вычисляется когда переносное движение является вращением вокруг неподвижной оси.

Рассмотрим точку М, движущуюся по поверхности некоторого тела (например, шара) вдоль заданной кривой АМВ по закону где (рис. 193). При этом само тело вращается вокруг оси ВА по закону где — угол поворота тела. Первое из названных движений считаем относительным, а второе — переносным для точки М. Пусть требуется найти значение в некоторый момент времени Расчет сводится к следующему.

1. Определение положения точки. Полагая в уравнении время определяем положение точки М на кривой А В при и изображаем точку на чертеже в этом положении.

2. Определение По формулам кинематики точки (см. § 42, 43) находим:

где — радиус кривизны кривой АВ в точке М. Определяем числовые значения этих величин при и изображаем затем векторы на чертеже (с учетом знаков на рис. 193 векторы показаны для случая, когда ).

3. Определение . Сначала находим и вычисляем их значения и при Затем определяем h — расстояние точки М от оси ВА в момент времени После этого находим как ускорения той точки тела, с которой в данный момент времени совпадает точка М, т. е. по формулам (см. § 51)

Изображаем векторы и апер на чертеже (с учетом знака на рис. 193 вектор показан для случая, когда и, следовательно, ).

4. Определение акор. Модуль и направление определяются так, как это показано в конце § 66. Вектор акор также изображаем на чертеже.

5. Определение По теореме Кориолиса находим

Если сумму стоящих справа векторов трудно найти геометрически, то, проводя какие-нибудь координатные оси Мхуг (рис. 193), вычисляем проекции всех слагаемых векторов на эти оси. Тогда по теореме о проекции суммы векторов на ось

После этого находим

Рис. 192

Рис. 193

Конкретный пример такого расчета см. в задаче 81.

Задача 78. Кулиса ОА вращается с постоянной угловой скоростью а вокруг оси О (рис. 194). По прорези кулисы скользит ползун В с постоянной относительной скоростью u. Определить абсолютное ускорение ползуна в зависимости от его расстояния до оси О.

Решение. По условиям задачи относительное движение ползуна по прорези кулисы является равномерным и прямолинейным; следовательно,

Движение кулисы ОА будет для ползуна В переносным. Следовательно, переносное ускорение ползуна равно ускорению той точки кулисы, с которой в данный момент времени совпадает ползун.

Так как эта точка кулисы движется по окружности радиуса то вектор и направлен вдоль ВО, а по модулю

Кориолисово ускорение так как движение плоское. Повернув вектор относительной скорости и вокруг точки В на 90° в сторону переносного вращения (т. е. по ходу часовой стрелки), находим направление акор. По теореме Кориолиса

В данном случае перпендикулярно . Следовательно,

Задача 79. Эксцентрик, представляющий собой круглый диск радиуса R, вращается с постоянной угловой скоростью а вокруг оси О, проходящей через край диска (рис, 195). По ободу диска с постоянной относительной скоростью и скользит штифт М, начиная свое движение из точки А.

Рис. 194

Рис. 195

Определить абсолютное ускорение штифта в произвольный момент времени t. Направления движений показаны на чертеже.

Решение. В момент времени находится от точки А на расстоянии Следовательно, в этот момент времени где

так как угол а равен половине центрального угла

Считаем движение штифта М по ободу диска относительным движением. Оно происходит по окружности радиуса R. Так как то

Направлен вектор по радиусу МС.

Движение диска будет для штифта М переносным движением. Следовательно, переносное ускорение штифта равно ускорению той точки диска, с которой в данный момент совпадает . Эта точка диска движется по окружности радиуса . Так как для диска то и

Направлен вектор вдоль линии МО.

Поскольку движение происходит в одной плоскости, и в данном случае

Направление получаем, повернув вектор вокруг точки М на 90° В сторону переносного движения (т. е. против хода часовой стрелки). Абсолютное ускорение штифта М определяется равенством

Для определения модуля проведем оси (см. рис. 195) и спроектируем обе части равенства () на эти оси. Получим:

Тогда

где значения определены равенствами (а), (б), (в), (г).

Задача 80. Тело движется в северном полушарии вдоль меридиана с севера на юг поступательно (рис. 196) со скоростью Найти модуль и направление кориолисова ускорения тела, когда оно находится на широте X.

Решение. Пренебрегая размерами тела, рассматриваем его как точку. Относительная скорость и тела образует с земной осью

Следовательно,

где со — угловая скорость Земли,

Рис. 196

Таким образом, наибольшее кориолисово ускорение тело имеет на полюсе при По мере приближения к экватору значение акор убывает и на экваторе при обращается в нуль (на экваторе вектор параллелен оси вращения Земли).

Направление акор находим как направление векторного произведения. Так как получаем, что вектор акор направлен перпендикулярно плоскости, проходящей через векторы , т. е. перпендикулярно плоскости меридионального сечения, на восток, откуда кратчайшее совмещение вектора со с вектором и видно против хода часовой стрелки.

Вопрос о том, как изменяется движение тел по земной поверхности вследствие наличия кориолисова ускорения, рассматривается в динамике. Однако из полученной формулы видно, что величина акор обычно мала, так как мала угловая скорость Земли.

Задача 81. Прямоугольный треугольник ABC, гипотенуза которого , а вращается вокруг оси (рис. 197) по закону Вдоль гипотенузы АВ около ее середины О колеблется точка по закону направлена вдоль ОА). Найти абсолютное ускорение точки М в момент времени .

Решение. 1. Считая движение точки М вдоль гипотенузы АВ относительным, определяем положение этой точки на гипотенузе в момент времени Из уравнения движения находим

Следовательно, точка М находится в момент времени на середине отрезка ОВ. Изображаем это положение на чертеже.

2. Определение Так как относительное движение является прямолинейным, то

В момент времени

Знак минус указывает, что вектор направлен в момент времени от М к точке В.

3, Определение мне. Беря производные, находим;

где - значение в момент времени

Знаки указывают, что с момента вращение направлено против хода часовой стрелки (если смотреть с конца оси ) и является замедленным.

4. Определение Так как относительное движение является прямолинейным, то

В момент времени

Рис. 197

5. Определение Движение треугольника будет для точки М переносным движением. Следовательно, переносное ускорение точки М равно ускорению той точки треугольника, с которой в данный момент совпадает точка М. Эта точка треугольника движется по окружности радиуса причем в момент времени

Таким образом, в этот момент времени

Вектор направлен перпендикулярно плоскости ABC в сторону, противоположную направлению вращения треугольника. Вектор направлен вдоль линии MD к оси вращения

6. Определение окор. По модулю в момент времени

так как угол между и осью равен в данном случае а.

Проектируя вектор на плоскость, перпендикулярную оси (проекция направлена вдоль линии MD), и повернув эту проекцию на 90° в сторону переносного вращения, т. е. против хода часовой стрелки, найдем направление акор (оно в данном случае совпадает с направлением ).