ÅÃÝ è ÎÃÝ
Æèâûå àíåêäîòû
Ãëàâíàÿ > Ôèçèêà > Êðàòêèé êóðñ òåîðåòè÷åñêîé ìåõàíèêè
<< Ïðåäûäóùèé ïàðàãðàô
Ñëåäóþùèé ïàðàãðàô >>
<< Ïðåäûäóùèé ïàðàãðàô Ñëåäóþùèé ïàðàãðàô >>
Ìàêåòû ñòðàíèö

§ 66. ÒÅÎÐÅÌÀ Î ÑËÎÆÅÍÈÈ ÓÑÊÎÐÅÍÈÉ (ÒÅÎÐÅÌÀ ÊÎÐÈÎËÈÑÀ)

Íàéäåì çàâèñèìîñòü ìåæäó îòíîñèòåëüíûì, ïåðåíîñíûì è àáñîëþòíûì óñêîðåíèÿìè òî÷êè. Èç ðàâåíñòâà (84) ïîëó÷èì

Ïðîèçâîäíûå çäåñü îïðåäåëÿþò èçìåíåíèå êàæäîãî èç âåêòîðîâ ïðè àáñîëþòíîì äâèæåíèè. Ýòè èçìåíåíèÿ ñëàãàþòñÿ â îáùåì ñëó÷àå èç èçìåíåíèé ïðè îòíîñèòåëüíîì è ïðè ïåðåíîñíîì äâèæåíèÿõ, ÷òî íèæå áóäåò íåïîñðåäñòâåííî ïîêàçàíî. Ñëåäîâàòåëüíî, åñëè óñëîâèòüñÿ èçìåíåíèÿ, êîòîðûå âåêòîðû è ïîëó÷àþò ïðè îòíîñèòåëüíîì äâèæåíèè, îòìå÷àòü èíäåêñîì «1», à ïðè ïåðåíîñíîì äâèæåíèè — èíäåêñîì «2», òî ðàâåíñòâî (85) ïðèìåò âèä

Íî ïî îïðåäåëåíèþ (ñì. § 64, ï. 1) îòíîñèòåëüíîå óñêîðåíèå õàðàêòåðèçóåò èçìåíåíèå îòíîñèòåëüíîé ñêîðîñòè òîëüêî ïðè îòíîñèòåëüíîì äâèæåíèè; äâèæåíèå îñåé , ò. å. ïåðåíîñíîå äâèæåíèå ïðè ýòîì âî âíèìàíèå íå ïðèíèìàåòñÿ. Ïîýòîìó

 ñâîþ î÷åðåäü, ïåðåíîñíîå óñêîðåíèå õàðàêòåðèçóåò èçìåíåíèå ïåðåíîñíîé ñêîðîñòè òîëüêî ïðè ïåðåíîñíîì äâèæåíèè, òàê êàê (ñì. § 64, ï. 2), ãäå m — òî÷êà, íåèçìåííî ñâÿçàííàÿ ñ îñÿìè è, ñëåäîâàòåëüíî, ïîëó÷àþùàÿ óñêîðåíèå òîëüêî ïðè äâèæåíèè âìåñòå ñ ýòèìè îñÿìè, ò. å. ïðè ïåðåíîñíîì äâèæåíèè. Ïîýòîìó

 ðåçóëüòàòå èç ðàâåíñòâà (86) ïîëó÷èì

Ââåäåì îáîçíà÷åíèå

Âåëè÷èíà àêîð, õàðàêòåðèçóþùàÿ èçìåíåíèå îòíîñèòåëüíîé ñêîðîñòè òî÷êè ïðè ïåðåíîñíîì äâèæåíèè è ïåðåíîñíîé ñêîðîñòè òî÷êè ïðè åå îòíîñèòåëüíîì äâèæåíèè, íàçûâàåòñÿ ïîâîðîòíûì, èëè êîðèîëèñîâûì, óñêîðåíèåì òî÷êè.  ðåçóëüòàòå ðàâåíñòâî (89) ïðèìåò âèä

Ðèñ. 188

Ôîðìóëà (91) âûðàæàåò ñëåäóþùóþ òåîðåìó Êîðèîëèñà î ñëîæåíèè óñêîðåíèé: ïðè ñëîæíîì äâèæåíèè óñêîðåíèå òî÷êè ðàâíî ãåîìåòðè÷åñêîé ñóììå òðåõ óñêîðåíèé: îòíîñèòåëüíîãî, ïåðåíîñíîãî è ïîâîðîòíîãî, èëè êîðèîëèñîâà.

Íàéäåì äëÿ âû÷èñëåíèÿ àêîð ôîðìóëó, âûòåêàþùóþ èç ðàâåíñòâà (90). Ïðè ýòîì, ðàññìàòðèâàÿ îáùèé ñëó÷àé, áóäåì ñ÷èòàòü ïåðåíîñíîå äâèæåíèå, ò. å. äâèæåíèå ïîäâèæíûõ îñåé , à ñ íèìè è êðèâîé À (ñì. ðèñ. 182), ñëàãàþùèìñÿ èç ïîñòóïàòåëüíîãî äâèæåíèÿ âìåñòå ñ íåêîòîðûì ïîëþñîì è âðàùåíèÿ âîêðóã ýòîãî ïîëþñà ñ óãëîâîé ñêîðîñòüþ , íàçûâàåìîé ïåðåíîñíîé óãëîâîé ñêîðîñòüþ. Âåëè÷èíà , êàê ïîêàçàíî îò âûáîðà ïîëþñà íå çàâèñèò è íà èçîáðàæåííûõ ðèñ. 188, ãäå ïîëþñ òî÷êà , è ðèñ. 189, ãäå ïîëþñ Î, èìååò îäíî è òî æå çíà÷åíèå.

Íà÷íåì ñ îïðåäåëåíèÿ Ïðè ðàññìàòðèâàåìîì ïåðåíîñíîì äâèæåíèè âåêòîð íàïðàâëåííûé ïî êàñàòåëüíîé ê êðèâîé ÀÂ, ïåðåìåñòèòñÿ âìåñòå ñ ýòîé êðèâîé ïîñòóïàòåëüíî (ïðèäåò â ïîëîæåíèå ðèñ. 188) è îäíîâðåìåííî ïîâåðíåòñÿ âîêðóã òî÷êè äî ïîëîæåíèÿ .  ðåçóëüòàòå âåêòîð ïîëó÷èò â ïåðåíîñíîì äâèæåíèè ïðèðàùåíèå ãäå — ñêîðîñòü, ñ êîòîðîé ïåðåìåùàåòñÿ òî÷êà b ïðè ïîâîðîòå âåêòîðà âîêðóã òî÷êè Òàê êàê ýòîò ïîâîðîò ïðîèñõîäèò ñ óãëîâîé ñêîðîñòüþ , òî ïî ôîðìóëå .  ðåçóëüòàòå ïîëó÷àåì è

Òåïåðü îïðåäåëèì Ñêîðîñòü ðàâíà ñêîðîñòè òîé íåèçìåííî ñâÿçàííîé ñ ïîäâèæíûìè îñÿìè òî÷êè êðèâîé ÀÂ, ñ êîòîðîé â äàííûé ìîìåíò âðåìåíè ñîâïàäàåò òî÷êà Ì (ðèñ. 189). Åñëè òî÷êó Î ïðèíÿòü çà ïîëþñ è îáîçíà÷èòü ÷åðåç âåêòîð òî ïî ôîðìóëå (81)

Ðèñ. 189

Ñîâåðøèâ çà ïðîìåæóòîê âðåìåíè îòíîñèòåëüíîå ïåðåìåùåíèå òî÷êà ïðèäåò â ïîëîæåíèå , äëÿ êîòîðîãî è

Ñëåäîâàòåëüíî, âñëåäñòâèå òîãî, ÷òî òî÷êà ñîâåðøàåò îòíîñèòåëüíîå ïåðåìåùåíèå âåêòîð èïåð ïîëó÷àåò ïðèðàùåíèå

îòêóäà

Ïîäñòàâëÿÿ âåëè÷èíû (92) è (93) â ðàâåíñòâî (90), ïîëó÷èì

Òàêèì îáðàçîì, êîðèîëèñîâî óñêîðåíèå ðàâíî óäâîåííîìó âåêòîðíîìó ïðîèçâåäåíèþ ïåðåíîñíîé óãëîâîé ñêîðîñòè (óãëîâîé ñêîðîñòè ïîäâèæíîé ñèñòåìû îòñ÷åòà) íà îòíîñèòåëüíóþ ñêîðîñòü òî÷êè.

Ñëó÷àé ïîñòóïàòåëüíîãî ïåðåíîñíîãî äâèæåíèÿ.  ýòîì ñëó÷àå è, ñëåäîâàòåëüíî, .  ðåçóëüòàòå ðàâåíñòâî (91) äàåò

ò. å. ïðè ïîñòóïàòåëüíîì ïåðåíîñíîì äâèæåíèè àáñîëþòíîå óñêîðåíèå òî÷êè ðàâíî ãåîìåòðè÷åñêîé ñóììå îòíîñèòåëüíîãî è ïåðåíîñíîãî óñêîðåíèé.

Ðåçóëüòàò çäåñü àíàëîãè÷åí òîìó, êîòîðûé äàåò òåîðåìà î ñëîæåíèè ñêîðîñòåé.

Ðèñ. 190

Âû÷èñëåíèå îòíîñèòåëüíîãî, ïåðåíîñíîãî è êîðèîëèñîâà óñêîðåíèé. Îòíîñèòåëüíîå óñêîðåíèå, ïîñêîëüêó ïðè åãî íàõîæäåíèè äâèæåíèå ïîäâèæíûõ îñåé âî âíèìàíèå íå ïðèíèìàåòñÿ, âû÷èñëÿåòñÿ îáû÷íûìè ìåòîäàìè êèíåìàòèêè òî÷êè (§ 40, 43). Ïåðåíîñíîå óñêîðåíèå âû÷èñëÿåòñÿ êàê óñêîðåíèå òî÷êè, íåèçìåííî ñâÿçàííîé ñ ïîäâèæíûìè îñÿìè, ò. å. êàê óñêîðåíèå òî÷êè íåêîòîðîãî òâåðäîãî òåëà, ïî ôîðìóëàì, ïîëó÷åííûì äëÿ óñêîðåíèé òî÷åê òâåðäîãî òåëà â § 51, 58, 62, 63. Êîðèîëèñîâî óñêîðåíèå âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå (94). Ìîäóëü êîðèîëèñîâà óñêîðåíèÿ, åñëè óãîë ìåæäó âåêòîðàìè îáîçíà÷èòü ÷åðåç à, áóäåò ðàâåí

Íàïðàâëåí âåêòîð àêîð òàê æå, êàê è âåêòîð ïåðïåíäèêóëÿðíî ïëîñêîñòè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç âåêòîðû â òó ñòîðîíó, îòêóäà êðàò÷àéøåå ñîâìåùåíèå ñî ñ âèäíî ïðîèñõîäÿùèì ïðîòèâ õîäà ÷àñîâîé ñòðåëêè (ðèñ. 190, à).

Èç ðèñ. 190, à âèäíî òàêæå, ÷òî íàïðàâëåíèå âåêòîðà àêîð ìîæíî îïðåäåëèòü, ñïðîåêòèðîâàâ âåêòîð íà ïëîñêîñòü Ï, ïåðïåíäèêóëÿðíóþ , è ïîâåðíóâ ýòó ïðîåêöèþ íà 90° â ñòîðîíó ïåðåíîñíîãî âðàùåíèÿ.

Åñëè îòíîñèòåëüíàÿ òðàåêòîðèÿ — ïëîñêàÿ êðèâàÿ è ïåðåìåùàåòñÿ âñå âðåìÿ â ñâîåé ïëîñêîñòè, òî óãîë (ðèñ. 190, á) ýòîì ñëó÷àå ïî ìîäóëþ

Êðîìå òîãî, êàê âèäíî èç ðèñ. 190, á, íàïðàâëåíèå àêïð ìîæíî â ýòîì ñëó÷àå íàéòè, ïîâåðíóâ âåêòîð îòíîñèòåëüíîé ñêîðîñòè íà 90° â ñòîðîíó ïåðåíîñíîãî âðàùåíèÿ (ò. å. ïî õîäó èëè ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè, â çàâèñèìîñòè îò íàïðàâëåíèÿ âðàùåíèÿ).

Íà ðèñ. 191 äëÿ èëëþñòðàöèè ïðèâåäåííûõ ïðàâèë ïîêàçàíî íàïðàâëåíèå êîðèîëèñîâà óñêîðåíèÿ øàðèêà Ì, äâèæóùåãîñÿ âäîëü òðóáêè À â ñëó÷àÿõ, êîãäà òðóáêà âðàùàåòñÿ â ïëîñêîñòè ÷åðòåæà (ðèñ. 191, à) è êîãäà îíà ïðè âðàùåíèè îïèñûâàåò êîíóñ (ðèñ. 191, á).

Èç ôîðìóëû (96) âèäíî, ÷òî êîðèîëèñîâî óñêîðåíèå ìîæåò îáðàùàòüñÿ â íóëü â ñëåäóþùèõ ñëó÷àÿõ;

1) êîãäà ò. å. êîãäà ïåðåíîñíîå äâèæåíèå ÿâëÿåòñÿ ïîñòóïàòåëüíûì [ôîðìóëà (95)] èëè åñëè ïåðåíîñíàÿ óãëîâàÿ ñêîðîñòü â äàííûé ìîìåíò âðåìåíè îáðàùàåòñÿ â íóëü;

Ðèñ. 191

2) êîãäà ò. å. êîãäà îòíîñèòåëüíàÿ ñêîðîñòü â äàííûé ìîìåíò âðåìåíè îáðàùàåòñÿ â íóëü;

3) êîãäà èëè ò. å. êîãäà îòíîñèòåëüíîå äâèæåíèå ïðîèñõîäèò ïî íàïðàâëåíèþ, ïàðàëëåëüíîìó îñè ïåðåíîñíîãî âðàùåíèÿ, èëè åñëè â äàííûé ìîìåíò âðåìåíè âåêòîð ïàðàëëåëåí ýòîé îñè.

<< Ïðåäûäóùèé ïàðàãðàô Ñëåäóþùèé ïàðàãðàô >>
Îãëàâëåíèå