Глава XIX. ПРЯМОЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ТОЧКИ

§ 94. СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ БЕЗ УЧЕТА СИЛ СОПРОТИВЛЕНИЯ

Учение о колебаниях составляет основу ряда областей физики и техники. Хотя колебания, рассматриваемые в различных областях, например в механике, радиотехнике, акустике и др., отличаются друг от друга по своей физической природе, основные законы этих колебаний во всех случаях остаются одними и теми же. Поэтому изучение механических колебаний является важным не только по той причине, что такие колебания очень часто имеют место в технике, но и вследствие того, что результаты, полученные при изучении механических колебаний, могут быть использованы для изучения и уяснения колебательных явлений в других областях.

Рис. 253

Начнем с изучения свободных колебаний точки без учета сил сопротивления. Рассмотрим точку М, движущуюся прямолинейно под действием одной только восстанавливающей силы F, направленной к неподвижному центру О и пропорциональной расстоянию от этого центра. Проекция силы F на ось (рис. 253) будет

Сила F, как видим, стремится вернуть точку в равновесное положение О, где ; отсюда и наименование «восстанавливающая» сила. Примером такой силы является сила упругости (см. § 88, рис. 232) или сила притяжения, рассмотренная в задаче 92 (см. § 80).

Найдем закон движения точки М. Составляя дифференциальное уравнение движения в проекции на ось (уравнение 12 из § 79), получим:

Деля обе части равенства на и вводя обозначение

приведем уравнение к виду

Уравнение (67) представляет собой дифференциальное уравнение свободных колебаний при отсутствии сопротивления. Решение этого линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка ищут в виде . Полагая в уравнении получим для определения характеристическое уравнение . Поскольку корни этого уравнения являются чисто мнимыми то, как известно из теории дифференциальных уравнений, общее решение уравнения (67) имеет вид

где — постоянные интегрирования. Если вместо постоянных ввести постоянные А и а, такие, что , то получим или

Это другой вид решения уравнения (67), в котором постоянными интегрирования являются А на. Им удобнее пользоваться для общих исследований.

Скорость точки в рассматриваемом движении

Колебания, совершаемые точкой по закону (69), называются гармоническими колебаниями. График их при показан на рис. 127, в (см. § 45).

Всем характеристикам этого движения можно дать наглядную кинематическую интерпретацию. Рассмотрим точку В, движущуюся равномерно по окружности радиуса А из положения определяемого углом

—а (рис. 254). Пусть постоянная угловая скорость вращения радиуса ОВ равна

Тогда в произвольный момент времени t угол и легко видеть, что проекция М точки В на диаметр, перпендикулярный DE, движется по закону где т. е. совершает гармонические колебания.

Рис. 254

Величина А, равная наибольшему отклонению точки М от центра колебаний О, называется амплитудой колебаний. Величина называется фазой колебаний. Фаза в отличие от координаты определяет не только положение точки в данный момент времени, но и направление ее последующего движения; например, из положения М при фазе, равной точка движется вправо, а при фазе, равной влево. Фазы, отличающиеся на считаются одинаковыми (на рис. 127, в светлыми точками отмечены две одинаковые фазы).

Величина а определяет фазу начала колебаний (начальная фаза). Например, при колебания происходят по закону синуса (начинаются от центра О со скоростью, направленной вправо), при — по закону косинуса (начинаются из положения со скоростью ). Величина k, совпадающая с угловой скоростью вращения радиуса ОВ, показанного на рис. 254, называется круговой частотой колебаний.

Промежуток времени Т (или ), в течение которого точка совершает одно полное колебание, называется периодом колебаний. По истечении периода фаза изменяется на Следовательно, должно быть откуда период

Величина v, обратная периоду и определяющая число колебаний, совершаемых за 1 с, называется частотой колебаний:

Отсюда видно, что величина k отличается от v только постоянным множителем . В дальнейшем мы обычно для краткости частотой колебаний будем называть и величину

Найдем теперь значения постоянных интегрирования А и а.

Определение А на по начальным условиям. Считая, как всегда, при получим из (69) и . Отсюда, складывая сначала почленно квадраты этих равенств, а затем деля их почленно одно на другое, найдем:

Определение А и по краевым условиям (см. § 79). Пусть вместо начальных заданы краевые условия вида: при а при . Тогда из (69) получим откуда и решением уравнения (67) будет если только Если же и т. д.), то для определения А получится уравнение , которому при удовлетворить нельзя, и задача решения не имеет. А если то для определения А получится уравнение , которое удовлетворяется при любом А, и, следовательно, уравнение (67) имеет неоднозначное решение где А — любое число.

Таким образом, в отличие от задач с начальными условиями, краевые задачи могут иметь неоднозначные решения или вовсе не иметь решения. В рассмотренных случаях это объясняется тем, что если по условиям при , то и через полпериода, т. е. при , должно быть тоже . Поэтому здесь удовлетворить условию при нельзя, а условие при удовлетворяется всегда, т. е. при колебаниях с любой амплитудой А.

Свойства свободных колебаний. В заключение отметим следующие важные свойства свободных колебаний: 1) амплитуда и начальная фаза колебаний зависят от начальных (или краевых) условий; 2) частота k, а следовательно, и период Т колебаний от начальных (или краевых) условий не зависят [определяются равенствами (66) и (71)] и являются неизменными характеристиками данной колеблющейся системы.

Отсюда, в частности, следует, что если в задаче требуется определить только период (или частоту) колебаний, то надо составить дифференциальное уравнение движения и привести его к виду (67). После этого Т найдется сразу по формуле (71) без интегрирования.

Рассмотренные колебания, как и те, что будут рассмотрены в § 95, 96, называют линейными, так как они описываются линейными дифференциальными уравнениями. То, что период этих колебаний не зависит от начальных (или краевых) условий, а следовательно, и от амплитуды, является одним из основных свойств линейных колебаний. Колебания, которые описываются нелинейными дифференциальными уравнениями, называют нелинейными, они упомянутыми свойствами не обладают (см. задачу 115).

Рис. 255

Влияние постоянной силы на свободные колебания точки. Пусть на точку М кроме восстанавливающей силы F, направленной к центру О (численно ), действует еще постоянная по модулю и направлению сила Р (рис. 255). В этом случае положением равновесия точки М, где сила Р уравновешивается силой F, будет точка отстоящая от О на расстоянии которое определяется равенством или

Величину назовем статическим отклонением.

Примем за начало координат и направим ось в сторону действия силы Р. Тогда . В результате, составляя уравнение (12) и учитывая, что согласно равенству получим или

Это уравнение, где k определяется равенством совпадает с уравнением (67). Отсюда заключаем, что постоянная сила Р, не изменяя характера колебаний, смещает центр колебаний в сторону действия силы на величину статического отклонения

Выразим период колебаний через Из (74) и (66) находим, что Тогда равенство (71) дает

Таким образом, период колебаний пропорционален корню квадратному из статического отклонения

В частности, если силой Р является сила тяжести (как, например, в задаче 112), то и формула (75) принимает вид

Задача 112. Груз подвешивают к концу В вертикальной пружины АВ и отпускают без начальной скорости. Определить закон колебаний груза, если в равновесном положении он растягивает пружину на величину (статическое удлинение пружины).

Решение. Поместим начало координат О в положение статического равновесия груза и направим ось по вертикали вниз (рис. 256). Сила упругости . В нашем случае . Следовательно, .

Составляя дифференциальное уравнение движения, получим

Но по условиям задачи сила тяжести (в равновесном положении сила Р уравновешивается силой упругости результате, введя обозначение приведем уравнение к виду

Отсюда сразу находим период колебаний груза в виде (75)

Решением полученного дифференциального уравнения будет

По начальным условиям . Так как

то, подставляя начальные данные, получим Следовательно, колебания происходят с амплитудой по закону

Отсюда видно, что наибольшее удлинение пружины при котебаниях груза равно . Этот результат был получен другим пугем в задаче 102, где роль пружины играла балка.

Рис. 256

Рис. 257

Задача 113. Определить период колебаний груза весом Р, подвешенного на двух пружинах с коэффициентами жесткости с, и , так, как показано на рис. 257, а.

Решение. Каждая из пружин в статическом положении растягииаегся с силой Р. Следовательно, статические удлинения пружин будут: . Тогда общее удлинение пружин

Полагая найдем, что

где — коэффициент эквивалентной пружины, заменяющей две данные пружины. В частности, при получим

Период колебаний по формуле (75) будет

Задача 114. Решить предыдущую задачу, считая, что груз подвешен на пружинах так, как показано на рис. 257, б.

Решение. В этом случае очевидно, что статические удлинения (сжатия) обеих пружин одинаковы. При этом сила Р уравновешивается силами упругости пружин, т. е. . Отсюда , а период колебаний

Задача 115. Определить период колебаний материальной точки с массой , если действующая на нее восстанавливающая сила F пропорциональна кубу отклонения точки от центра О (см. рис. 253) и , где — заданный постоянный коэффициент. В начальный момент времени координата

Решение. Дифференциальное уравнение движения точки составим в виде (14) (см. § 79); получим следующее нелинейное уравнение:

Умножим обе части этого уравнения на и возьмем (в соответствии с начальными условиями) интегралы слева от 0 до , а справа от до получим

Так как в момент времени то под действием силы F (см. рис. 253) точка начнет двигаться влево и При как видно из равенства (а), и дальше под действием силы F (при , а следовательно, ) точка будет двигаться вправо до положения где опять и т. д. Таким образом, точка совершает колебания с амплитудой

Для дальнейшего решения находим из учитывая, получим:

Из предыдущих рассуждений следует, что время движения от положения до (до точки О) равно четверти периода. Следовательно,

Полагая здесь где — новое переменное, и учтя, что при , а при будет получим

Значение стоящего справа определенного интеграла (это частный вид так называемого эллиптического интеграла) можно найти из соответствующих таблиц; приближенно он равен 1,31 и тогда окончательно

Мы видим, что при этих нелинейных колебаниях (в отличие от колебаний линейных) период зависит от и с увеличением в данном случае убывает.