§ 140. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ

Приступая к решению задачи, следут вначале определить число степеней свободы рассматриваемой системы (в частности, механизма), по числу независимых возможных перемещений или координат системы.

В плоских механизмах число степеней свободы можно практически определять так. Представим себе, что механизм движется. Если, остановив поступательное или вращательное движение какого-нибудь одного звена, мы одновременно останавливаем весь механизм, то он имеет одну степень свободы. Если после этого часть механизма может продолжать движение, но, когда затем будет остановлено перемещение какого-нибудь другого звена, механизм остановится, то он имеет две степени свободы и т. д. Аналогично, если определить положение механизма какой-нибудь координатой и когда она постоянна, механизм не может двигаться — у него одна степень свободы. Если же после этого часть механизма может двигаться, то выбирается вторая координата и т. д.

Для решения задачи геометрическим методом, когда система имеет одну степень свободы, надо: 1) изобразить все действующие на систему активные силы; 2) сообщить системе возможное перемещение и показать на чертеже элементарные перемещения точек приложения сил или углы 69,, элементарных поворотов тел, на которые действуют силы (у элементарных перемещений будем на чертеже указывать их модули , которые непосредственно входят в условия равновесия); 3) подсчитать элементарные работы всех активных сил на данном перемещении по формулам:

и составить условие (99); 4) установить зависимость между величинами вошедшими в равенство (99), и выразить эти величины через какую-нибудь одну, что для системы с одной степенью свободы всегда можно сделать.

После замены в равенстве (99) всех величн через одну получим уравнение, из которого и найдется искомая в задаче величина или зависимость.

Зависимости между можно находить: а) из соответствующих геометрических соотношений (задачи 164, 169); б) из кинематических соотношений, считая, что система движется, и определяя при данном положении системы зависимости между линейными или угловыми скоростями соответствующих точек или тел системы, а затем полагая , что справедливо, так как получаемые точками или телами за время dt действительные перемещения будут при стационарных связях одними из возможных (иначе, здесь можно сразу считать зависимости между возможными перемещениями такими же, как между соответствующими скоростями, см. задачи 165, 166 и др.).

Для системы с несколькими степенями свободы задачу можно решать, составляя условие (99) для каждого из независимых возможных перемещений системы и преобразуя его тем же путем. В результате для системы получится столько условий равновесия, сколько она имеет степеней свободы. Другой метод решения, приводящий к тем же результатам, изложен в § 144.

При аналитическом методе расчета условие равновесия составляют в виде (100). Для этого выбирают координатные оси, связанные с телом, которое при возможных перемещениях системы остается неподвижным. Затем вычисляют проекции всех активных сил на выбранные оси и координаты точек приложения этих сил, выражая все координаты через какой-нибудь параметр (например, угол). После этого величины находятся дифференцированием координат по этому параметру.

Если все координаты выразить через один параметр сразу не удается, то надо ввести несколько параметров, а затем установить зависимость между ними.

Отметим в заключение, что условиями (99) или (100) можно пользоваться для решения задач и при наличии трения, включая силу трения в число активных сил. Этим же путем можно находить реакции связей, если, отбросив связь, заменить ее соответствующей реакцией, включить последнюю в число активных сил и учесть, что после отбрасывания связи у системы появляется новая степень свободы.

Задача 164. В механизме, изображенном на рис. 354, найти зависимость между силами Р и Q при равновесии.

Решение, У системы одна степень свободы. Если сообщить системе возможное перемещение, то все диагонали параллелограммов, образованных стержнями, удлинятся на одну и ту же величину . Тогда .

Составляя уравнение (99), получим:

откуда . Результат получается очень просто.

Рис. 354

Задача 165. Вес бревна Q, вес каждого из двух цилиндрических катков, на которые оно положено, Р. Определить, какую силу F надо приложить к бревну, чтобы удержать его в равновесии на наклонной плоскости при данном угле наклона а (рис. 355). Трение катков о плоскость и бревно обеспечивает отсутствие скольжения.

Решение. Если пренебречь сопротивлением качению, то плоскость для катков будет идеальной связью. При качении без скольжения у системы одна степень свободы. Сообщая системе возможное перемещение, получаем по условию (99)

где — возможное перемещение бревна, совпадающее с перемещением точки В.

Точка касания К является мгновенным центром скоростей катка. Следовательно, , если считать , Подставляя это значение в предыдущее уравнение, найдем окончательно

Задача 166. Найти зависимость между моментом М пары, действующей на кривошип кривошипно-ползунного механизма (рис, 356), и силой давления Р на поршень при равновесии, если

Рис. 355

Рис. 356

Решение. У механизма одна степепь свободы. Из условия равновесия (99), если положить получим:

Решение сводится к нахождению зависимости между Эта кинематическая задача была решена ранее (см. § 57, задача 63). Пользуясь полученным там результатом, находим

Задача 167. Для редуктора, рассмотренного в задаче 83 (см. § 70), найти зависимость между вращающим моментом приложенным к ведущему валу А, и моментом сопротивлений приложенным к ведомому валу В, когда оба вала вращаются равномерно.

Решение. При равномерном вращении соотношение между будет таким же, как при равновесии. Следовательно, по условию (99), если положить будет:

Отсюда, пользуясь результатом, полученным в задаче 83, находим

Задача 168. Пайтн зависимость между силами Р и Q в подъемном механизме детали которого скрыты в коробке К (рис. 357), если известно, что при каждом повороте рукоятки винт D выдвигается на величину

Решение. Составляя условие равновесия (99), получаем

Предполагается, что при равномерном вращении рукоятки виит вывинчивается также равномерно, тогда

Подставляя это значение в предыдущее равенство, находим

Заметим, что методами геометрической статики эту несложную задачу вообще нельзя было бы решить, так как детали механизма не известны.

Решенная задача показывает, каковы (принципиально) возможности примененного метода. Но при конкретном инженерном расчёте подобного механизма необходимо будет, конечно, учесть трение между его деталями, для чего понадобится знать, каков механизм.

Задача 169. Балка, состоящая из двух брусьев, соединенных шарниром С, несет нагрузку Р (рис. 358, а). Размеры балки и расположение опор показаны на чертеже. Определить силу давления на опору В, вызываемую заданной нагрузкой.

Рис. 357

Рис. 358

Решение. Отбрасываем опору В и заменяем ее реакцией N в, численно равной искомой силе давления (рис. 358, б). Сообщив системе возможное перемещение (у нее теперь появилась одна степень свободы), составляем условие (99)

Связь между находим из пропорций:

откуда

Следовательно,

При применении метода геометрической статики решение оказалось бы более длинным (пришлось бы рассмотреть равновесие частей балки и ввести дополнительно реакции других связей, а затем исключить эти реакции из полученной системы уравнений равновесия).

Задача 170. Горизонтальный брус 1 весом закрепленный в точке А шарниром (рис. 359), соединен шарниром В с брусом 2 весом концом С брус опирается на горизонтальный пол, образуя с ним угол а. Определить, при каком значении силы трения бруса о пол система будет в равновесии.

Рис. 359

Рис. 360

Решение. Изображаем действующие на систему силы и силу трения F, включая ее в число активных сил; при этом силу разлагаем на две составляющие, равные каждая и приложенные в точках В и С (обращаем внимание на этот прием, существенно облегчающий вычисление возможной работы).

Составляя условие равновесия (99) и учитывая формулы (101), получим обозначив

Но, по аналогии с теоремой о проекциях скоростей двух точек тела, , где . Тогда и окончательно

Заметим, что методами геометрической статики в этой задаче составить только одно уравнение, из которого сразу найдется F, нельзя.

Задача 171. В планетарном механизме с дифференциальной передачей (см. § 70) на ось А независимо друг от друга насажены шестерня 1 радиусом и кривошип АВ, несущий на себе ось В шестерни 2 радиусом (рис. 360). На кривошип действует вращающий момент М, а на шестерни 1 и 2 — моменты сопротивлений Найти значения при равновесии механизма.

Решение. Механизм имеет две степени свободы, так как в нем возможны два независимых перемещения: а) поворот кривошипа АВ при неподвижной шестерне и б) поворот шестерни 1 при неподвижном кривошипе АВ. Сообщим сйачала системе возможное перемещение, при котором шестерня 1 остается неподвижной (рис, 360, а), Для этого перемещения уравнение (99) дает

Но когда шестерня 1 неподвижна, точка касания шестерен будет мгновенным центром скоростей для шестерни 2. Следовательно, . В то же время . Отсюда или и мы получаем

Теперь сообщим системе другое, независимое от первого возможное перемещение, при котором кривошип АВ неподвижен (рис. 360, б). Для этого перемещения по условию (99) будет . Но при неподвижном кривошипе

Рис. 361

Окончательно находим:

Задача 172. В прессе, изображенном на рис. 361, найти зависимость между силами при равновесии Углы известны. Весом стержней пренебречь.

Решение. Чтобы дать пример аналитического расчета, воспользуемся условием равновесия (100). Беря начало в неподвижной точке А и проводя оси ли у, получим

так как остальные проекции сил обращаются в нули.

Для нахождения определим значения координат точен приложения сил, выразив их через углы а и Получим, обозначая длины стержней через а и b:

Дифференцируя эти выражения, найдем:

Подстановка полученных величин в равенство (а) дает (с учетом того, что )

Для нахождения зависимости между воспользуемся тем, что в данном случае расстояние . Следовательно, Дифференцируя это равенство, получим:

Подставляя это значение в равенство (б) найдем

откуда

При угле P, близком к a, сила давления Р получается очень большой,