ЕГЭ и ОГЭ
Хочу знать
Главная > Физика > Краткий курс теоретической механики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 58. ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСКОРЕНИЙ ТОЧЕК ПЛОСКОЙ ФИГУРЫ

Покажем, что ускорение любой точки М плоской фигуры (так же, как и скорость) складывается из ускорений, которые точка получает при поступательном и вращательном движениях этой фигуры. Положение точки М по отношению к осям (см. рис. 146) определяется радиусом-вектором где Тогда

В правой части этого равенства первое слагаемое есть ускорение полюса А, а второе слагаемое определяет ускорение которое точка М получает при вращении фигуры вокруг полюса А (см. § 54). Следовательно,

Значение как ускорения точки вращающегося твердого тела, определяется по формулам (46) и (47) из § 51:

где угловая скорость и угловое ускорение фигуры, а — угол между вектором и отрезком МА (рис. 163).

Таким образом, ускорение любой точки М плоской фигуры геометрически складывается из ускорения какой-нибудь другой точки А, принятой за полюс, и ускорения, которое точка М получает при вращении фигуры вокруг этого полюса. Модуль и направление ускорения находятся построением соответствующего параллелограмма (рис. 163).

Однако вычисление с помощью параллелограмма, изображенного на рис. 163, усложняет расчет, так как предварительно надо будет находить значение угла а затем — угла между векторами Поэтому при решении задач удобнее вектор заменять его касательной и нормальной составляющими и представить равенство (59) в виде

При этом вектор направлен перпендикулярно АМ в сторону вращения, если оно ускоренное, и против вращения, если оно замедленное; вектор апмд всегда направлен от точки М к полюсу А (рис. 164). Численно же

Если полюс А движется не прямолинейно, то его ускорение можно тоже представить как сумму касательной и нормальной составляющих, тогда

Наконец, когда точка М движется криволинейно и ее траектория известна, то в левых частях равенств (61) и (63) можно заменить суммой Формулами (61) — (63) и пользуются обычно при решении задач.

Рис. 163

Рис. 164

Решение задач. Ускорение любой точки плоской фигуры в данный момент времени можно найти, если известны: 1) векторы скорости и ускорения какой-нибудь точки А этой фигуры в данный момент, 2) траектория какой-нибудь другой точки В фигуры. В ряде случаев вместо траектории второй точки фигуры достаточно знать положение мгновенного центра скоростей.

Тело (или механизм) при решении задач надо изображать в том положении, для которого требуется определить ускорение соответствующей точки. Расчет начинается с определения по данным задачи скорости и ускорения точки, принимаемой за полюс. Дальнейшие особенности расчета подробно рассматриваются в решенных ниже задачах. Там же даются необходимые дополнительные указания.

Задача 67. Центр О колеса, катящегося по прямолинейному рельсу (рис. 165), имеет в данный момент времени скорости и с и ускорение Радиус колеса Определить ускорение точки В — конца перпендикулярного ОР диаметра ЛВ и ускорение точки Р, совпадающей с мгновенным центром скоростей.

Решение. 1) Так как известны, принимаем точку О за полюс.

2) Определение . Точка касания Р является мгновенным центром скоростей; следовательно, угловая скорость колеса

Направление со определяется направлением и показано на чертеже сплошной стрелкой.

3) Определение . Так как в равенстве (а) величина остается постоянной при любом положении колеса, то, дифференцируя это равенство по времени, получим

Знаки совпадают, следовательно, вращение колеса ускоренное.

Важно помнить, что величина определяется равенством (б) только в том случае, когда расстояние РО в формуле (а) постоянно.

Рис. 165

Рис. 166

Примечание: а) не следует думать, что если по условиям задачи то Значение в задаче указано для данного момента времени, с течением же времени изменяется, так как

б) в данном случае так как движение точки О является прямо линейным. В общем случае

4) Определение Так как за полюс взята точка О, то по формуле (61)

Используя равенство (а) и (б) и учитывая что в нашем случае находим:

Показав на чертеже точку В отдельно, изображаем (без соблюдения масштаба) векторы, из которых слагается ускорение а именно: вектор (переносим из точки О), вектор (в сторону вращения, так как оно ускоренное) и вектор (всегда от В к полюсу О.

5) Вычисление Проведя оси находим, что

откуда

Аналогичным путем легко найти и ускорение точки и направлено вдоль РО. Таким образом, ускорение точки Р, скорость которой в данный момент времени равна нулю, пулю не равно.

Задача 68. По неподвижной шестерне 1 радиуса обкатывается шестерня 2 радиуса насаженная на кривошип ОА (рис. 166, а). Кривошип, вращающийся вокруг оси О, имеет в данный момент времени узловую скорость и угловое ускорение Определить в этот момент времени ускорение точки D, лежащей на ободе подвижной шестерни (радиус AD перпендикулярен кривошипу).

Решение. 1) Для решения задачи надо рассмотреть движение шестерни 2, Поданным задачи легко найти скорость и ускорение точки А этой шестерни, которую и выбираем за полюс.

2) Определение и Зная кривошипа, находим:

Так как знаки у разные, то движение точки из данного положения является, замедленным. Векторы имеют направления, показанные на чертеже.

3) Определение . Точка касания Р является мгновенным центром скоростей для шестерни 2; следовательно, угловая скорость шестерни 2

Направление (направление вращения шестерни) определяется направлением и показано сплошной стрелкой

4) Определение Как и в предыдущей задаче, величина во все время движения постоянна. Поэтому

Так как знаки разные, то вращение шестерни 2 явтяется замедленным,

5) Определение Ускорение точки D найдем по формуле (63):

В нашем случае и

Изображаем на чертеже (рис. 166, б) векторы, из которых слагается ускорение , именно: (переносим из точки (против вращения, так как оно замедленное); (от D к полюсу А).

6) Вычисление Проводя оси находим, что

откуда

Задача 69. К кривошипу ОА, равномерно вращающемуся вокруг оси О с угловой скоростью (рис. 167), прикреплен шатун АВ, соединенный с коромыслом ВС. Даны размеры: . В положении, изображенном на чертеже, , а Определить для этого положения ускорение точки В шатуна, а также угловую скорость и угловое ускорение коромысла ВС и шатуна АВ.

Решение. 1) Рассмотрим движение шатуна выберем в качестве полюса точку А. Для нее, так как

Изображаем векторы на чертеже.

2) Определение Нам известна траектория точки В шатуна (окружность радиуса ВС). Зиая поэтому направление строим мгновенный центр скоростей Р шатуна АВ. Легко видеть, что Тогда

Направление поворота показано на чертеже.

В этом случае расстояние АР при движении механизма не остается постоянным и для определения нельзя воспользоваться приемом, примененным в двух предыдущих задачах. Рассмотрим поэтому другой метод решения.

Рис. 167

3) Анализ векторного уравнения (61). Учитывая, что представим уравнение (61) в виде

Изобразим все векторы на рис. направляем так, как если бы соответствующие вращения были ускоренными). Рассмотрим, какие из входящих в уравнение (в) величин известны численно или могут быть по данным задачи вычисленны. Мы знаем ускорение полюса А. Кроме того, зная можно найти , а зная можно определить и вычислить Таким образом, в векторном уравнении (в) неизвестны только числовые значения двух подчеркнутых величин: Но в проекциях на оси равенство (в) дает два скалярных уравнения, из которых эти неизвестные и определяются.

Произведем предварительно подсчет

4) Определение Зная , по формуле (62) находим

5) Определение Зная траекторию точки В, можно определить нормальное ускорение этой точки. Для этого найдем сначала по теореме проекций (или с помощью мгновенного центра Р) скорость Получим -откуда Тогда

6) Определение Для определения спроектируем обе части равенства (в) на ось В А, перпендикулярную другому неизвестному вектору Получим

Подставляя сюда вычисленные значения найдем

Знак минус показывает, что вектор имеет направление, противоположное (вращение коромысла СВ из данного положения замедленное).

Теперь определяем

7) Определение Зная 2 и находим

8) Определение Чтобы найти надо вычислить Для этого спроектируем обе части равенства (в) на ось ВР, перпендикулярную ав-Получим

Отсюда

и по первой из формул (62)

Знак минус в обоих случаях указывает, что вращение шатуна АВ из рассматриваемого положения является замедленным.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление