§ 58. ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСКОРЕНИЙ ТОЧЕК ПЛОСКОЙ ФИГУРЫ

Покажем, что ускорение любой точки М плоской фигуры (так же, как и скорость) складывается из ускорений, которые точка получает при поступательном и вращательном движениях этой фигуры. Положение точки М по отношению к осям (см. рис. 146) определяется радиусом-вектором где Тогда

В правой части этого равенства первое слагаемое есть ускорение полюса А, а второе слагаемое определяет ускорение которое точка М получает при вращении фигуры вокруг полюса А (см. § 54). Следовательно,

Значение как ускорения точки вращающегося твердого тела, определяется по формулам (46) и (47) из § 51:

где — угловая скорость и угловое ускорение фигуры, а — угол между вектором и отрезком МА (рис. 163).

Таким образом, ускорение любой точки М плоской фигуры геометрически складывается из ускорения какой-нибудь другой точки А, принятой за полюс, и ускорения, которое точка М получает при вращении фигуры вокруг этого полюса. Модуль и направление ускорения находятся построением соответствующего параллелограмма (рис. 163).

Однако вычисление с помощью параллелограмма, изображенного на рис. 163, усложняет расчет, так как предварительно надо будет находить значение угла а затем — угла между векторами Поэтому при решении задач удобнее вектор заменять его касательной и нормальной составляющими и представить равенство (59) в виде

При этом вектор направлен перпендикулярно АМ в сторону вращения, если оно ускоренное, и против вращения, если оно замедленное; вектор апмд всегда направлен от точки М к полюсу А (рис. 164). Численно же

Если полюс А движется не прямолинейно, то его ускорение можно тоже представить как сумму касательной и нормальной составляющих, тогда

Наконец, когда точка М движется криволинейно и ее траектория известна, то в левых частях равенств (61) и (63) можно заменить суммой Формулами (61) — (63) и пользуются обычно при решении задач.

Рис. 163

Рис. 164

Решение задач. Ускорение любой точки плоской фигуры в данный момент времени можно найти, если известны: 1) векторы скорости и ускорения какой-нибудь точки А этой фигуры в данный момент, 2) траектория какой-нибудь другой точки В фигуры. В ряде случаев вместо траектории второй точки фигуры достаточно знать положение мгновенного центра скоростей.

Тело (или механизм) при решении задач надо изображать в том положении, для которого требуется определить ускорение соответствующей точки. Расчет начинается с определения по данным задачи скорости и ускорения точки, принимаемой за полюс. Дальнейшие особенности расчета подробно рассматриваются в решенных ниже задачах. Там же даются необходимые дополнительные указания.

Задача 67. Центр О колеса, катящегося по прямолинейному рельсу (рис. 165), имеет в данный момент времени скорости и с и ускорение Радиус колеса Определить ускорение точки В — конца перпендикулярного ОР диаметра ЛВ и ускорение точки Р, совпадающей с мгновенным центром скоростей.

Решение. 1) Так как известны, принимаем точку О за полюс.

2) Определение . Точка касания Р является мгновенным центром скоростей; следовательно, угловая скорость колеса

Направление со определяется направлением и показано на чертеже сплошной стрелкой.

3) Определение . Так как в равенстве (а) величина остается постоянной при любом положении колеса, то, дифференцируя это равенство по времени, получим

Знаки совпадают, следовательно, вращение колеса ускоренное.

Важно помнить, что величина определяется равенством (б) только в том случае, когда расстояние РО в формуле (а) постоянно.

Рис. 165

Рис. 166

Примечание: а) не следует думать, что если по условиям задачи то Значение в задаче указано для данного момента времени, с течением же времени изменяется, так как

б) в данном случае так как движение точки О является прямо линейным. В общем случае

4) Определение Так как за полюс взята точка О, то по формуле (61)

Используя равенство (а) и (б) и учитывая что в нашем случае находим:

Показав на чертеже точку В отдельно, изображаем (без соблюдения масштаба) векторы, из которых слагается ускорение а именно: вектор (переносим из точки О), вектор (в сторону вращения, так как оно ускоренное) и вектор (всегда от В к полюсу О.

5) Вычисление Проведя оси находим, что

откуда

Аналогичным путем легко найти и ускорение точки и направлено вдоль РО. Таким образом, ускорение точки Р, скорость которой в данный момент времени равна нулю, пулю не равно.

Задача 68. По неподвижной шестерне 1 радиуса обкатывается шестерня 2 радиуса насаженная на кривошип ОА (рис. 166, а). Кривошип, вращающийся вокруг оси О, имеет в данный момент времени узловую скорость и угловое ускорение Определить в этот момент времени ускорение точки D, лежащей на ободе подвижной шестерни (радиус AD перпендикулярен кривошипу).

Решение. 1) Для решения задачи надо рассмотреть движение шестерни 2, Поданным задачи легко найти скорость и ускорение точки А этой шестерни, которую и выбираем за полюс.

2) Определение и Зная кривошипа, находим:

Так как знаки у разные, то движение точки из данного положения является, замедленным. Векторы имеют направления, показанные на чертеже.

3) Определение . Точка касания Р является мгновенным центром скоростей для шестерни 2; следовательно, угловая скорость шестерни 2

Направление (направление вращения шестерни) определяется направлением и показано сплошной стрелкой

4) Определение Как и в предыдущей задаче, величина во все время движения постоянна. Поэтому

Так как знаки разные, то вращение шестерни 2 явтяется замедленным,

5) Определение Ускорение точки D найдем по формуле (63):

В нашем случае и

Изображаем на чертеже (рис. 166, б) векторы, из которых слагается ускорение , именно: (переносим из точки (против вращения, так как оно замедленное); (от D к полюсу А).

6) Вычисление Проводя оси находим, что

откуда

Задача 69. К кривошипу ОА, равномерно вращающемуся вокруг оси О с угловой скоростью (рис. 167), прикреплен шатун АВ, соединенный с коромыслом ВС. Даны размеры: . В положении, изображенном на чертеже, , а Определить для этого положения ускорение точки В шатуна, а также угловую скорость и угловое ускорение коромысла ВС и шатуна АВ.

Решение. 1) Рассмотрим движение шатуна выберем в качестве полюса точку А. Для нее, так как

Изображаем векторы на чертеже.

2) Определение Нам известна траектория точки В шатуна (окружность радиуса ВС). Зиая поэтому направление строим мгновенный центр скоростей Р шатуна АВ. Легко видеть, что Тогда

Направление поворота показано на чертеже.

В этом случае расстояние АР при движении механизма не остается постоянным и для определения нельзя воспользоваться приемом, примененным в двух предыдущих задачах. Рассмотрим поэтому другой метод решения.

Рис. 167

3) Анализ векторного уравнения (61). Учитывая, что представим уравнение (61) в виде

Изобразим все векторы на рис. направляем так, как если бы соответствующие вращения были ускоренными). Рассмотрим, какие из входящих в уравнение (в) величин известны численно или могут быть по данным задачи вычисленны. Мы знаем ускорение полюса А. Кроме того, зная можно найти , а зная можно определить и вычислить Таким образом, в векторном уравнении (в) неизвестны только числовые значения двух подчеркнутых величин: Но в проекциях на оси равенство (в) дает два скалярных уравнения, из которых эти неизвестные и определяются.

Произведем предварительно подсчет

4) Определение Зная , по формуле (62) находим

5) Определение Зная траекторию точки В, можно определить нормальное ускорение этой точки. Для этого найдем сначала по теореме проекций (или с помощью мгновенного центра Р) скорость Получим -откуда Тогда

6) Определение Для определения спроектируем обе части равенства (в) на ось В А, перпендикулярную другому неизвестному вектору Получим

Подставляя сюда вычисленные значения найдем

Знак минус показывает, что вектор имеет направление, противоположное (вращение коромысла СВ из данного положения замедленное).

Теперь определяем

7) Определение Зная 2 и находим

8) Определение Чтобы найти надо вычислить Для этого спроектируем обе части равенства (в) на ось ВР, перпендикулярную ав-Получим

Отсюда

и по первой из формул (62)

Знак минус в обоих случаях указывает, что вращение шатуна АВ из рассматриваемого положения является замедленным.