§ 37. ÑÏÎÑÎÁÛ ÇÀÄÀÍÈß ÄÂÈÆÅÍÈß ÒÎ×ÊÈ
Äëÿ çàäàíèÿ äâèæåíèÿ òî÷êè ìîæíî ïðèìåíÿòü îäèí èç ñëåäóþùèõ òðåõ ñïîñîáîâ: 1) âåêòîðíûé, 2) êîîðäèíàòíûé, 3) åñòåñòâåííûé.
1. Âåêòîðíûé ñïîñîá çàäàíèÿ äâèæåíèÿ òî÷êè. Ïóñòü òî÷êà Ì äâèæåòñÿ ïî îòíîøåíèþ ê íåêîòîðîé ñèñòåìå îòñ÷åòà
1. Ïîëîæåíèå ýòîé òî÷êè â ëþáîé ìîìåíò âðåìåíè ìîæíî îïðåäåëèòü, çàäàâ åå ðàäèóñ-âåêòîð
, ïðîâåäåííûé èç íà÷àëà êîîðäèíàò Î â òî÷êó Ì (ðèñ. 114).
Ïðè äâèæåíèè òî÷êè Ì âåêòîð
áóäåò ñ òå÷åíèåì âðåìåíè èçìåíÿòüñÿ è ïî ìîäóëþ, è ïî íàïðàâëåíèþ. Ñëåäîâàòåëüíî,
ÿâëÿåòñÿ ïåðåìåííûì âåêòîðîì (âåêòîðîì-ôóíêöèåé), çàâèñÿùèì îò àðãóìåíòà ![](img_page/4.gif)
![](archive/arch.php?path=../htm/book_stm/files.book&file=stm_38.files/image1.gif)
Ðàâåíñòâî (1) è îïðåäåëÿåò çàêîí äâèæåíèÿ òî÷êè â âåêòîðíîé ôîðìå, òàê êàê îíî ïîçâîëÿåò â ëþáîé ìîìåíò âðåìåíà ïîñòðîèòü ñîîòâåòñòâóþùèé âåêòîð
è íàéòè ïîëîæåíèå äâèæóùåéñÿ òî÷êè.
Ãåîìåòðè÷åñêîå ìåñòî êîíöîâ âåêòîðà
, ò. å. ãîäîãðàô ýòîãî âåêòîðà, îïðåäåëÿåò òðàåêòîðèþ äâèæóùåéñÿ òî÷êè.
Àíàëèòè÷åñêè, êàê èçâåñòíî, âåêòîð çàäàåòñÿ åãî ïðîåêöèÿìè íà êîîðäèíàòíûå îñè.  ïðÿìîóãîëüíûõ äåêàðòîâûõ êîîðäèíàòàõ äëÿ âåêòîðà
áóäåò:
(ñì. ðèñ. 114), ãäå õ, ó, z — äåêàðòîâû êîîðäèíàòû òî÷êè. Òîãäà, åñëè ââåñòè åäèíè÷íûå âåêòîðû
êîîðäèíàòíûõ îñåé, ïîëó÷èì äëÿ
âûðàæåíèå ![](img_page/11.gif)
![](archive/arch.php?path=../htm/book_stm/files.book&file=stm_38.files/image2.gif)
![](archive/arch.php?path=../htm/book_stm/files.book&file=stm_38.files/image3.gif)
Ðèñ. 114
Ñëåäîâàòåëüíî, çàâèñèìîñòü
îò t áóäåò èçâåñòíà, åñëè áóäóò çàäàíû êîîðäèíàòû
òî÷êè êàê ôóíêöèè âðåìåíè. Òàêîé ñïîñîá çàäàíèÿ äâèæåíèÿ òî÷êè (êîîðäèíàòíûé) ðàññìîòðèì íèæå. Âåêòîð
ìîæåò áûòü çàäàí, êàê èçâåñòíî, è èíûìè ñïîñîáàìè, íàïðèìåð åãî ìîäóëåì è óãëàìè ñ îñÿìè èëè ïðîåêöèÿìè íà îñè äðóãèõ ñèñòåì êîîðäèíàò. Äëÿ ïîëó÷åíèÿ îáùèõ ôîðìóë, íå çàâèñÿùèõ îò òîãî, êàê êîíêðåòíî çàäàí âåêòîð
, áóäåì èñõîäèòü èç âåêòîðíîãî çàêîíà äâèæåíèÿ, ïðåäñòàâëåííîãî ðàâåíñòâîì (1).
2. Êîîðäèíàòíûé ñïîñîá çàäàíèÿ äâèæåíèÿ òî÷êè. Ïîëîæåíèå òî÷êè ìîæíî íåïîñðåäñòâåííî îïðåäåëÿòü åå äåêàðòîâûìè êîîðäèíàòàìè õ, ó, z, êîòîðûå ïðè äâèæåíèè òî÷êè áóäóò ñ òå÷åíèåì âðåìåíè èçìåíÿòüñÿ. ×òîáû çíàòü çàêîí äâèæåíèÿ òî÷êè, ò. å. åå ïîëîæåíèå â ïðîñòðàíñòâå â ëþáîé ìîìåíò âðåìåíè, íàäî çíàòü çíà÷åíèÿ êîîðäèíàò òî÷êè äëÿ êàæäîãî ìîìåíòà âðåìåíè, ò. å. çíàòü çàâèñèìîñòè
![](archive/arch.php?path=../htm/book_stm/files.book&file=stm_38.files/image4.gif)
Óðàâíåíèÿ (3) ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ òî÷êè â ïðÿìîóãîëüíûõ äåêàðòîâûõ êîîðäèíàòàõ. Îíè îïðåäåëÿþò çàêîí äâèæåíèÿ òî÷êè ïðè êîîðäèíàòíîì ñïîñîáå çàäàíèÿ äâèæåíèÿ.
Åñëè äâèæåíèå òî÷êè ïðîèñõîäèò âñå âðåìÿ â îäíîé è òîé æå ïëîñêîñòè, òî, ïðèíÿâ ýòó ïëîñêîñòü çà ïëîñêîñòü
ïîëó÷èì â ýòîì ñëó÷àå äâà óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ:
![](archive/arch.php?path=../htm/book_stm/files.book&file=stm_38.files/image5.gif)
Íàêîíåö, ïðè ïðÿìîëèíåéíîì äâèæåíèè òî÷êè, åñëè âäîëü åå òðàåêòîðèè íàïðàâèòü êîîðäèíàòíóþ îñü
äâèæåíèå áóäåò îïðåäåëÿòüñÿ îäíèì óðàâíåíèåì (çàêîíîì ïðÿìîëèíåéíîãî äâèæåíèÿ òî÷êè)
![](archive/arch.php?path=../htm/book_stm/files.book&file=stm_38.files/image6.gif)
Óðàâíåíèÿ (3) è (4) ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé îäíîâðåìåííî óðàâíåíèÿ òðàåêòîðèè òî÷êè â ïàðàìåòðè÷åñêîé ôîðìå, ãäå ðîëü ïàðàìåòðà èãðàåò âðåìÿ t. Èñêëþ÷èâ èç óðàâíåíèé äâèæåíèÿ âðåìÿ t, ìîæíî íàéòè óðàâíåíèå òðàåêòîðèè â îáû÷íîé ôîðìå, ò. å. â âèäå, äàþùåì çàâèñèìîñòü ìåæäó êîîðäèíàòàìè òî÷êè.
Ïðèìåð. Ïóñòü äâèæåíèå òî÷êè â ïëîñêîñòè
äàïî óðàâíåíèÿìè:
![](archive/arch.php?path=../htm/book_stm/files.book&file=stm_38.files/image7.gif)
ãäå
ó âûðàæåíû â ñàíòèìåòðàõ; t — â ñåêóíäàõ.
Ïî ýòèì óðàâíåíèÿì ìîæíî íàéòè, ÷òî â ìîìåíò âðåìåíè
òî÷êà íàõîäèòñÿ â ïîëîæåíèè
, ò. å. â íà÷àëå êîîðäèíàò, â ìîìåíò
— â ïîëîæåíèè
è ò. ä. Òàêèì îáðàçîì, óðàâíåíèÿ (à) äåéñòâèòåëüíî îïðåäåëÿþò ïîëîæåíèå òî÷êè â ëþáîé ìîìåíò âðåìåíè. Äàâàÿ i ðàçíûå çíà÷åíèÿ è èçîáðàæàÿ ñîîòâåòñòâóþùèå ïîëîæåíèÿ òî÷êè íà ðèñóíêå, ìîæåì ïîñòðîèòü åå òðàåêòîðèþ.
![](archive/arch.php?path=../htm/book_stm/files.book&file=stm_38.files/image8.gif)
Ðèñ. 115
Äðóãèì ïóòåì òðàåêòîðèþ ìîæíî íàéòè, èñêëþ÷èâ t èç óðàâíåíèé (à). Èç ïåðâîãî óðàâíåíèÿ íàõîäèì
è, ïîäñòàâëÿÿ
çíà÷åíèå i âî âòîðîå óðàâíåíèå, ïîëó÷àåì
Ñëåäîâàòåëüíî, òðàåêòîðèåé òî÷êè ÿâëÿåòñÿ ïàðàáîëà ñ âåðøèíîé â íà÷àëå êîîðäèíàò è îñûî, ïàðàëëåëüíîé îñè
Äðóãèå ïðèìåðû îïðåäåëåíèÿ òðàåêòîðèè òî÷êè ñì. â § 41.
3. Åñòåñòâåííûé ñïîñîá çàäàíèÿ äâèæåíèÿ òî÷êè. Åñòåñòâåííûì (èëè òðàåêòîðíûì) ñïîñîáîì çàäàíèÿ äâèæåíèÿ óäîáíî ïîëüçîâàòüñÿ â òåõ ñëó÷àÿõ, êîãäà òðàåêòîðèÿ äâèæóùåéñÿ òî÷êè èçâåñòíà çàðàíåå. Ïóñòü êðèâàÿ À ÿâëÿåòñÿ òðàåêòîðèåé òî÷êè Ì ïðè åå äâèæåíèè îòíîñèòåëüíî ñèñòåìû îòñ÷åòà
(ðèñ. 115). Âûáåðåì íà ýòîé òðàåêòîðèè êàêóþ-íèáóäü íåïîäâèæíóþ òî÷êó Î, êîòîðóþ ïðèìåì çà íà÷àëî îòñ÷åòà, è óñòàíîâèì íà òðàåêòîðèè ïîëîæèòåëüíîå è îòðèöàòåëüíîå íàïðàâëåíèÿ îòñ÷åòà (êàê íà êîîðäèíàòíîé îñè). Òîãäà ïîëîæåíèå òî÷êè Ì íà òðàåêòîðèè áóäåò îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿòüñÿ êðèâîëèíåéíîé êîîðäèíàòîé s, êîòîðàÿ ðàâíà ðàññòîÿíèþ îò òî÷êè Î äî òî÷êè Ì, èçìåðåííîìó âäîëü äóãè òðàåêòîðèè è âçÿòîìó ñ ñîîòâåòñòâóþùèì çíàêîì. Ïðè äâèæåíèè
ïåðåìåùàåòñÿ â ïîëîæåíèÿ
ñëåäîâàòåëüíî, ðàññòîÿíèå s áóäåò ñ òå÷åíèåì âðåìåíè èçìåíÿòüñÿ. ×òîáû çíàòü ïîëîæåíèå òî÷êè Ì íà òðàåêòîðèè â ëþáîé ìîìåíò âðåìåíè, íàäî çíàòü çàâèñèìîñòü
![](archive/arch.php?path=../htm/book_stm/files.book&file=stm_38.files/image9.gif)
Óðàâíåíèå (6) è âûðàæàåò çàêîí äâèæåíèÿ òî÷êè Ì âäîëü òðàåêòîðèè.
Òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû çàíÿòü äâèæåíèå òî÷êè åñòåñòâåííûì ñïîñîáîì, íàäî çàäàòü: 1) òðàåêòîðèþ òî÷êè; 2) íà÷àëî îòñ÷åòà íà òðàåêòîðèè ñ óêàçàíèåì ïîëîæèòåëüíîãî è îòðèöàòåëüíîãî íàïðàâëåíèè îòñ÷åòà; 3) çàêîí äâèæåíèÿ òî÷êè âäîëü òðàåêòîðèè â âèäå ![](img_page/31.gif)
Çàìåòèì, ÷òî âåëè÷èíà s â óðàâíåíèè (6) îïðåäåëÿåò ïîëîæåíèå äâèæóùåéñÿ òî÷êè, à íå ïðîéäåííûé åþ ïóòü. Íàïðèìåð, åñëè òî÷êà, äâèãàÿñü èç íà÷àëà Î, äîõîäèò äî ïîëîæåíèÿ
(ðèñ. 115), à çàòåì, ïåðåìåùàÿñü â îáðàòíîì íàïðàâëåíèè, ïðèõîäèò â ïîëîæåíèå Ì, òî â ýòîò ìîìåíò åå êîîðäèíàòà
à ïðîéäåííûé çà âðåìÿ äâèæåíèÿ ïóòü
ðàâåí
ò. å. íå ðàâåí ![](img_page/36.gif)