§ 4.10. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОЛОЖЕНИЯ НЕЙТРАЛЬНОЙ ОСИ ПРИ ЧИСТОМ ИЗГИБЕ

При действии в поперечном сечении кривого бруса изгибающего момента М (т. е. при N = 0) радиус нейтрального слоя можно определять по формуле (5.10). Однако удобнее вычислять этот радиус с помощью специальных формул, полученных для различных форм поперечных сечений.

Рассмотрим в качестве примера вывод такой формулы для поперечного сечечия в виде прямоугольника шириной b и высотой h (рис. 7.10). Обозначим радиусы соответственно внутренних и наружных волокон бруса.

Выделим в поперечном сечении элементарную полоску высотой шириной b и площадью отстоящую на расстоянии от центра кривизны бруса (рис. 7.10).

По формуле (5.10),

и, следовательно,

Путем разложения в ряд правой части формулы (9.10) можно получитьследующую приближенную формулу:

(10.10)

Для поперечного сечения в форме круга с диаметром d (рис. 8.10, а) аналогичным путем можно получить следующие формулы: точную:

(11.10)

приближенную:

(12.10)

Для поперечного сечения в форме трапеции (рис. 8.10,б)

Центр тяжести трапеции находится, как известно, на расстоянии а (см. рис. 8.10,б) от основания (имеющего размер ), равном

Из формулы (13.10) можно получить формулы для прямоугольника (при ) и треугольника (при или

Рис. 7.10

Рис. 8.10

При поперечных сечениях сложной формы определение радиуса нейтрального слоя можно производить по следующей формуле:

Числитель этой формулы представляет собой площадь сложного сечения; в знаменателе под знак суммы входят интегралы, подсчитанные для каждой из простых фигур, на которые расчленяется сложное сечение. Каждый такой интеграл можно заменить отношением [на основании формулы (5.10)]; тогда выражение (15.10) примет вид

(16.10)

Значения можно определять для каждой простой фигуры по формулам, приведенным в настоящем параграфе.

Если сложное сечение расчленено на отдельные фигуры с высотой каждой (в направлении, перпендикулярном нейтральной оси) не более то в формулу (16.10) вместо можно подставлять расстояния - от центра тяжести каждой простой фигуры до центра кривизны бруса (применение такого способа дано в примере 2.10 для таврового сечения).

После определения радиуса нейтрального слоя (при по формуле находится расстояние между нейтральной осью и центром тяжести поперечного сечения, а затем по формуле (7.10) или (8.10) определяются нормальные напряжения в этом сечении. Расстояние с при отношении (высоты h поперечного сечения бруса к радиусу кривизны его оси), меньшем , можно определять (не находя предварительно значения ) по следующей приближенной формуле (независимо от формы поперечного сечения бруса):

(17.10)

где - момент инерции поперечного сечения относительно оси, проходящей через его центр тяжести перпендикулярно плоскости кривизны бруса.

Вычисление радиуса нейтрального слоя необходимо вести с высокой точностью; ошибка, например, всего на 0,1% в значении при определении для прямоугольного сечения [см. формулу (9.10)] может существенно отразиться на полученных величинах нормальных напряжений (см. об этом также в примере 1.10).