ЕГЭ и ОГЭ
Хочу знать
Главная > Физика > Сопротивление материалов
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
550
551
552
553
554
555
556
557
558
559
560
561
562
563
564
565
566
567
568
569
570
571
572
573
574
575
576
577
578
579
580
581
582
583
584
585
586
587
588
589
590
591
592
593
594
595
596
597
598
599
600
601
602
603
604
605
606
607
608
609
610
611
612
613
614
615
616
617
618
619
620
621
622
623
624
625
626
627
628
629
630
631
632
633
634
635
636
637
638
639
640
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Научная библиотека

Научная библиотека

избранных естественно-научных изданий

Научная библиотека служит для получения быстрого и удобного доступа к информации естественно-научных изданий, получивших широкое распространение в России и за рубежом. На сайте впервые широкой публике представлены некоторые авторские издания написанные ведущими учеными страны.

Во избежании нарушения авторского права, материал библиотеки доступен по паролю ограниченному кругу студентов и преподавателей вузов. Исключение составляют авторские издания, на которые имеются разрешения публикации в открытой печати.

Математика

Физика

Методы обработки сигналов

Схемотехника

Астрономия

Разное

Макеты страниц

§ 15.7. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ В БАЛКАХ ПОСТОЯННОГО СЕЧЕНИЯ МЕТОДОМ НЕПОСРЕДСТВЕННОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ

Под действием внешних сил, расположенных в одной из главных плоскостей прямой балки, ее ось искривляется в той же плоскости; при этом точки оси перемещаются.

Изогнутая ось балки называется упругой линией, а перемещения точек оси балки по нормали к ее недеформированной оси называются прогибами балки (прогибами оси балки или прогибами сечений балки). Обозначим прогибы балки у.

На рис. 68.7 изображена прямая ось недеформированной балки и ось, изогнутая нагрузкой, действующей на балку. Прогибы точек 1 и 2 оси балки в действительности весьма малы по сравнению с длинои балки, а потому их принято изображать в более крупном масштабе, чем длину оси.

Рис. 68.7

Длина оси балки при изгибе остается неизменной, так как ось расположена в нейтральном слое, а нормальные напряжения в поперечных сечениях балки в уровне этого слоя равны нулю.

Рис. 69.7

Рис. 70.7

Искривление оси балки вызывает не только прогибы, но и смещения точек оси по горизонтали. Эти смещения, как правило, весьма малы по сравнению не только с длиной балки, но и с прогибами ее оси; поэтому ими при расчетах пренебрегают.

При деформации балки ее поперечные сечения не только поступательно смещаются, но и поворачиваются. Пренебрегая деформациями сдвига, можно считать угол поворота поперечного сечения балки равным углу между касательной, проведенной к изогнутой оси балки в этом сечении, и недеформированной осью балки (рис. 69.7), т. е. углу поворота оси балки.

Выберем прямоугольную систему координат с началом О на левом конце оси балки. Ось х направим вправо (вдоль недеформированной оси балки), а ось - вверх (рис. 70.7).

Прогибы балки (прогибы оси) будем считать положительными, если точки ее оси смещаются при деформации вверх. Углы поворота положительны, если поперечные сечения при деформации поворачиваются против хода часовой стрелки. Прогибы и углы поворота, показанные на рис. 68.7, 69.7 и 70.7, отрицательны. Прогибы оси балки измеряются в мерах длины (см, мм и т. д.), а углы 0 поворота поперечных сечений в радианах.

Плоскости двух смежных поперечных сечений деформированной балки, отстоящих друг от друга на расстояние пересекаются в центре кривизны участка оси балки. Расстояние от центра кривизны до оси балки называется радиусом кривизны оси (см. рис. 70.7). В § 7.7 получена формула (16.7), выражающая связь между радиусом кривизны оси балки, изгибающим моментом в поперечном сечении балки и жесткостью поперечного сечения при изгибе:

Отношение представляет собой кривизну оси балки.

Из курса высшей математики известна зависимость между радиусом кривизны плоской кривой и координатами и у ее точек:

Подставим в выражение (65.7) значение по формуле (16.7):

Первая производная входящая в знаменатель формулы (66.7), представляет собой тангенс угла Ф между осью и касательной к упругой линии. Практически углы Ф весьма малы: они, как правило, менее 0,01 радиана. Поэтому выражение в формуле (66.7) не превышает 1,0001, т. е. практически не отличается от единицы, в связи с чем величиной можно пренебречь.

Тогда уравнение (66.7) примет вид

Как было указано выше, Так как углы О весьма малы, то можно принимать

На рис. 71.7 показан участок изогнутой оси балки. Первая производная этом участке возрастает с увеличением абсциссы х. Следовательно, вторая производная на этом участке положительна. Для того чтобы могла возникать деформация участка показанная на рис. 71.7, необходимо, чтобы изгибающий момент М в сечениях этого участка балки был положителен.

Рис. 71.7

Следовательно, при положительном значении М величина также положительна, а потому перед правой частью формулы будет знак «плюс», т. е.

Уравнение (68.7) называется основным дифференциальным уравнением изогнутой оси балки. Оно является приближенным, так как при его выводе точное выражение кривизны оси заменено приближенным. Кроме того, не учтены деформации балки, связанные с наличием поперечных сил. Определение прогибов и углов поворота поперечных сечений балок, выполненное с учетом влияния поперечных сил, показывает, что в подавляющем большинстве случаев это влияние несущественно и им можно пренебречь.

Проинтегрировав выражение (68.7), получим уравнение углов поворота сечений балки

Интегрируя второй раз, получаем уравнение прогибов (уравнение упругой линии):

Изгибающий момент М, входящий в эти уравнения, является функцией координаты поперечного сечения балки.

Для балки постоянного сечения и, следовательно,

(72.7)

Уравнения (71.7) и (72.7) служат для определения углов поворота и прогибов поперечных сечений балок.

В эти уравнения входят постоянные интегрирования С и D, которые можно определить из граничных условий. Порядок определения линейных и угловых перемещений поперечных сечений балок с помощью уравнений (71.7) и (72.7) рассмотрим на конкретных примерах.

Определим прогибы и углы поворота поперечных сечений балки на двух опорах, нагруженной сплошной равномерно распределенной нагрузкой q (рис. 72.7).

Рис. 72.7

Изгибающий момент в сечении балки с абсциссой х

Подставим это выражение в дифференциальное уравнение упругой линии (68.7):

Проинтегрируем это уравнение дважды:

Для определения постоянных интегрирования С и D используем граничные условия: на концах балки (при ) ее прогибы равны нулю, так как в этих сечениях балка опирается на жесткие шарнирные опоры (см. рис. 72.7). Подставим значения в последнее выражение:

откуда

откуда

Полученные значения подставим в выражения Ф и у:

По этим уравнениям можно определить прогиб у и угол поворота Ф любого поперечного сечения балки. Практическое значение имеет наибольший (по абсолютной величине) прогиб. Для определения абсциссы сечения, в котором возникает такой прогиб, следует приравнять нулю производную т. е. приравнять нулю угол поворота

Решать это уравнение (третьей степени относительно неизвестного в данном случае не является необходимым, так как балка симметрична относительно своей середины (см. рис. 72.7), а потому угол поворота посредине балки равен нулю. Действительно, подставим в последнее уравнение значение

Наибольший (по абсолютной величине) прогиб (посредине балки) найдем, подставив в выражение у значение

Знак «минус» указывает на то, что балка прогибается в сторону отрицательных значений у, т. е. вниз.

Угол поворота сечения на левой опоре получим из выражения приняв в нем

Угол поворота сечения на правой опоре получим, подставив в то же выражение значение

Углы поворота , сечений на левой и правой опорах равны друг другу по величине и обратны по знаку (см. рис. 72.7).

Заметим, что постоянные интегрирования С и D представляют собой углы поворота и прогиб поперечного сечения балки при т. е.

Определим прогибы и углы поворота поперечных сечений балки, заделанной левым концом и нагруженной по всей длине равномерно распределенной нагрузкой а на правом конце сосредоточенной силой Р (рис. 73.7).

Изгибающий момент в сечении балки с абсциссой

Здесь - реактивный (опорный) момент; — вертикальная опорная реакция.

Рис. 73.7

Дифференциальное уравнение (68.7) для данного случая принимает вид

Интегрируем это уравнение дважды:

Постоянные С и D определяются из условий закрепления левого конца балки. Здесь (при ) прогиб и угол поворота сечения равны нулю (см. рис. 73.7). Подставим значение в выражения для и у:

Окончательно уравнения углов поворота и прогиба балки принимают вид:

Наибольший прогиб и наибольший угол поворота возникают на свободном конце балки, т. е. при

В частных случаях: если действует одна - только сила Р, т. е. , то

если действует одна лишь равномерно распределенная нагрузка q, т. е. то

Определим прогибы и углы поворота поперечных сечений балки на двух опорах, нагруженной сосредоточенной силой Р на расстоянии а от левой опоры (рис. 74.7). Балка имеет два участка.

Рис. 74.7

Изгибающие моменты в сечениях участка (т. е. при ) и в сечениях участка (т. е. при ) равны

Так как выражения изгибающих моментов для участков I а II различны, то и уравнения упругой линии на участках различны. Поэтому интегрирование уравнения (68.7) производим раздельно для каждого из участков.

Для участка I уравнение (68.7) принимает вид

интегрируем его дважды:

Для участка II уравнение (68.7) принимает вид

интегрируем это уравнение дважды:

откуда

Здесь применен так называемый прием Клебша, состоящим в следующем: при интегрировании выражение заменяется выражением так как и интегрирование ведется без раскрытия скобок. Таким образом,

В полученные уравнения для углов поворота и прогибов балки входят четыре постоянные. При их определении используем условия для концов балки и для сечения на границе участков На левой опоре (при и на правой опоре (при прогибы равны нулю; в конце участка прогиб и угол поворота сечения равны соответственно прогибу и углу поворота сечения в начале участка II (при (см. рис. 74.7):

Подставляем соответствующие значения в уравнения прогибов и углов поворота:

Из равенств (в) и (г)

Постоянные а таюке и равны друг другу в результате применения приема Клебша при интегрировании дифференциального уравнения упругой линии.

Из равенства (а)

следовательно,

С учетом этого из равенства (б) находим

и, следовательно,

Подставим найденные значения постоянных в уравнения прогибов и углов поворота сечений балки:

Рассмотрим случай, когда сила Р приложена посредине пролета. Упругая линия в этом случае симметрична относительно середины пролета. Подставим в уравнения для и значения

Наибольший прогиб посредине пролета (при )

Угол поворота на левой опоре (при )

На основании выполненных примеров можно установить следующий порядок определения перемещений (при изгибе балок) методом непосредственного интегрирования дифференциального уравнения упругой линии.

1. Для каждого участка балки составляются выражения изгибающих моментов.

2. Выражения изгибающих моментов для каждого участка балки подставляются в основное дифференциальное уравнение изогнутой оси балки (68.7).

3. Определяются общие выражения углов поворота и прогибов сечений для каждого участка балки путем двухкратного интегрирования основного дифференциального уравнения.

4. Определяются постоянные интегрирования из условий на опорах балки и на границах ее участков.

Полученные значения постоянных подставляются в общие выражения углов поворота и прогибов сечений балки.

6. В зависимости от условий задачи вычисляются значения углов поворота и прогибов тех или иных сечений балки. В большинстве случаев определяется наибольший (по абсолютной величине) прогиб или близкий к нему по величине прогиб посредине пролета. В тех случаях, когда требуется построить упругую линию, определяются прогибы ряда сечений.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление