1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 391 392 393 394 395 396 397 398 399 400 401 402 403 404 405 406 407 408 409 410 411 412 413 414 415 416 417 418 419 420 421 422 423 424 425 426 427 428 429 430 431 432 433 434 435 436 437 438 439 440 441 442 443 444 445 446 447 448 449 450 451 452 453 454 455 456 457 458 459 460 461 462 463 464 465 466 467 468 469 470 471 472 473 474 475 476 477 478 479 480 481 482 483 484 485 486 487 488 489 490 491 492 493 494 495 496 497 498 499 500 501 502 503 504 505 506 507 508 509 510 511 512 513 514 515 516 517 518 519 520 521 522 523 524 525 526 527 528 529 530 531 532 533 534 535 536 537 538 539 540 541 542 543 544 545 546 547 548 549 550 551 552 553 554 555 556 557 558 559 560 561 562 563 564 565 566 567 568 569 570 571 572 573 574 575 576 577 578 579 580 581 582 583 584 585 586 587 588 589 590 591 592 593 594 595 596 597 598 599 600 601 602 603 604 605 606 607 608 609 610 611 612 613 614 615 616 617 618 619 620 621 622 623 624 625 626 627 628 629 630 631 632 633 634 635 636 637 638 639 640
Макеты страниц
§ 15.7. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ В БАЛКАХ ПОСТОЯННОГО СЕЧЕНИЯ МЕТОДОМ НЕПОСРЕДСТВЕННОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯПод действием внешних сил, расположенных в одной из главных плоскостей прямой балки, ее ось искривляется в той же плоскости; при этом точки оси перемещаются. Изогнутая ось балки называется упругой линией, а перемещения точек оси балки по нормали к ее недеформированной оси называются прогибами балки (прогибами оси балки или прогибами сечений балки). Обозначим прогибы балки у. На рис. 68.7 изображена прямая ось недеформированной балки и ось, изогнутая нагрузкой, действующей на балку. Прогибы Рис. 68.7 Длина оси балки при изгибе остается неизменной, так как ось расположена в нейтральном слое, а нормальные напряжения в поперечных сечениях балки в уровне этого слоя равны нулю. Рис. 69.7 Рис. 70.7 Искривление оси балки вызывает не только прогибы, но и смещения точек оси по горизонтали. Эти смещения, как правило, весьма малы по сравнению не только с длиной балки, но и с прогибами ее оси; поэтому ими при расчетах пренебрегают. При деформации балки ее поперечные сечения не только поступательно смещаются, но и поворачиваются. Пренебрегая деформациями сдвига, можно считать угол Выберем прямоугольную систему координат Прогибы балки (прогибы оси) будем считать положительными, если точки ее оси смещаются при деформации вверх. Углы поворота Плоскости двух смежных поперечных сечений деформированной балки, отстоящих друг от друга на расстояние Отношение Из курса высшей математики известна зависимость между радиусом кривизны плоской кривой и координатами Подставим в выражение (65.7) значение Первая производная входящая в знаменатель формулы (66.7), представляет собой тангенс угла Ф между осью Тогда уравнение (66.7) примет вид Как было указано выше, На рис. 71.7 показан участок Рис. 71.7 Следовательно, при положительном значении М величина также положительна, а потому перед правой частью формулы Уравнение (68.7) называется основным дифференциальным уравнением изогнутой оси балки. Оно является приближенным, так как при его выводе точное выражение кривизны оси заменено приближенным. Кроме того, не учтены деформации балки, связанные с наличием поперечных сил. Определение прогибов и углов поворота поперечных сечений балок, выполненное с учетом влияния поперечных сил, показывает, что в подавляющем большинстве случаев это влияние несущественно и им можно пренебречь. Проинтегрировав выражение (68.7), получим уравнение углов поворота сечений балки Интегрируя второй раз, получаем уравнение прогибов (уравнение упругой линии): Изгибающий момент М, входящий в эти уравнения, является функцией координаты Для балки постоянного сечения
Уравнения (71.7) и (72.7) служат для определения углов поворота и прогибов поперечных сечений балок. В эти уравнения входят постоянные интегрирования С и D, которые можно определить из граничных условий. Порядок определения линейных и угловых перемещений поперечных сечений балок с помощью уравнений (71.7) и (72.7) рассмотрим на конкретных примерах. Определим прогибы и углы поворота поперечных сечений балки на двух опорах, нагруженной сплошной равномерно распределенной нагрузкой q (рис. 72.7). Рис. 72.7 Изгибающий момент в сечении балки с абсциссой х Подставим это выражение в дифференциальное уравнение упругой линии (68.7): Проинтегрируем это уравнение дважды: Для определения постоянных интегрирования С и D используем граничные условия: на концах балки (при откуда откуда Полученные значения По этим уравнениям можно определить прогиб у и угол поворота Ф любого поперечного сечения балки. Практическое значение имеет наибольший (по абсолютной величине) прогиб. Для определения абсциссы Решать это уравнение (третьей степени относительно неизвестного Наибольший (по абсолютной величине) прогиб (посредине балки) найдем, подставив в выражение у значение Знак «минус» указывает на то, что балка прогибается в сторону отрицательных значений у, т. е. вниз. Угол поворота сечения на левой опоре получим из выражения Угол поворота сечения на правой опоре получим, подставив в то же выражение значение Углы поворота Заметим, что постоянные интегрирования С и D представляют собой углы поворота и прогиб поперечного сечения балки при Определим прогибы и углы поворота поперечных сечений балки, заделанной левым концом и нагруженной по всей длине равномерно распределенной нагрузкой Изгибающий момент в сечении балки с абсциссой Здесь Рис. 73.7 Дифференциальное уравнение (68.7) для данного случая принимает вид Интегрируем это уравнение дважды: Постоянные С и D определяются из условий закрепления левого конца балки. Здесь (при Окончательно уравнения углов поворота и прогиба балки принимают вид: Наибольший прогиб и наибольший угол поворота возникают на свободном конце балки, т. е. при В частных случаях: если действует одна - только сила Р, т. е. если действует одна лишь равномерно распределенная нагрузка q, т. е. Определим прогибы и углы поворота поперечных сечений балки на двух опорах, нагруженной сосредоточенной силой Р на расстоянии а от левой опоры (рис. 74.7). Балка имеет два участка. Рис. 74.7 Изгибающие моменты в сечениях участка Так как выражения изгибающих моментов для участков I а II различны, то и уравнения упругой линии на участках Для участка I уравнение (68.7) принимает вид интегрируем его дважды: Для участка II уравнение (68.7) принимает вид интегрируем это уравнение дважды: откуда Здесь применен так называемый прием Клебша, состоящим в следующем: при интегрировании выражение В полученные уравнения для углов поворота и прогибов балки входят четыре постоянные. При их определении используем условия для концов балки и для сечения на границе участков Подставляем соответствующие значения Из равенств (в) и (г) Постоянные Из равенства (а) следовательно, С учетом этого из равенства (б) находим и, следовательно, Подставим найденные значения постоянных в уравнения прогибов и углов поворота сечений балки: Рассмотрим случай, когда сила Р приложена посредине пролета. Упругая линия в этом случае симметрична относительно середины пролета. Подставим в уравнения для и Наибольший прогиб посредине пролета (при Угол поворота на левой опоре (при На основании выполненных примеров можно установить следующий порядок определения перемещений (при изгибе балок) методом непосредственного интегрирования дифференциального уравнения упругой линии. 1. Для каждого участка балки составляются выражения изгибающих моментов. 2. Выражения изгибающих моментов для каждого участка балки подставляются в основное дифференциальное уравнение изогнутой оси балки (68.7). 3. Определяются общие выражения углов поворота и прогибов сечений для каждого участка балки путем двухкратного интегрирования основного дифференциального уравнения. 4. Определяются постоянные интегрирования из условий на опорах балки и на границах ее участков. Полученные значения постоянных подставляются в общие выражения углов поворота и прогибов сечений балки. 6. В зависимости от условий задачи вычисляются значения углов поворота и прогибов тех или иных сечений балки. В большинстве случаев определяется наибольший (по абсолютной величине) прогиб или близкий к нему по величине прогиб посредине пролета. В тех случаях, когда требуется построить упругую линию, определяются прогибы ряда сечений.
|
Оглавление
|