§ 15.7. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ В БАЛКАХ ПОСТОЯННОГО СЕЧЕНИЯ МЕТОДОМ НЕПОСРЕДСТВЕННОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ

Под действием внешних сил, расположенных в одной из главных плоскостей прямой балки, ее ось искривляется в той же плоскости; при этом точки оси перемещаются.

Изогнутая ось балки называется упругой линией, а перемещения точек оси балки по нормали к ее недеформированной оси называются прогибами балки (прогибами оси балки или прогибами сечений балки). Обозначим прогибы балки у.

На рис. 68.7 изображена прямая ось недеформированной балки и ось, изогнутая нагрузкой, действующей на балку. Прогибы точек 1 и 2 оси балки в действительности весьма малы по сравнению с длинои балки, а потому их принято изображать в более крупном масштабе, чем длину оси.

Рис. 68.7

Длина оси балки при изгибе остается неизменной, так как ось расположена в нейтральном слое, а нормальные напряжения в поперечных сечениях балки в уровне этого слоя равны нулю.

Рис. 69.7

Рис. 70.7

Искривление оси балки вызывает не только прогибы, но и смещения точек оси по горизонтали. Эти смещения, как правило, весьма малы по сравнению не только с длиной балки, но и с прогибами ее оси; поэтому ими при расчетах пренебрегают.

При деформации балки ее поперечные сечения не только поступательно смещаются, но и поворачиваются. Пренебрегая деформациями сдвига, можно считать угол поворота поперечного сечения балки равным углу между касательной, проведенной к изогнутой оси балки в этом сечении, и недеформированной осью балки (рис. 69.7), т. е. углу поворота оси балки.

Выберем прямоугольную систему координат с началом О на левом конце оси балки. Ось х направим вправо (вдоль недеформированной оси балки), а ось - вверх (рис. 70.7).

Прогибы балки (прогибы оси) будем считать положительными, если точки ее оси смещаются при деформации вверх. Углы поворота положительны, если поперечные сечения при деформации поворачиваются против хода часовой стрелки. Прогибы и углы поворота, показанные на рис. 68.7, 69.7 и 70.7, отрицательны. Прогибы оси балки измеряются в мерах длины (см, мм и т. д.), а углы 0 поворота поперечных сечений в радианах.

Плоскости двух смежных поперечных сечений деформированной балки, отстоящих друг от друга на расстояние пересекаются в центре кривизны участка оси балки. Расстояние от центра кривизны до оси балки называется радиусом кривизны оси (см. рис. 70.7). В § 7.7 получена формула (16.7), выражающая связь между радиусом кривизны оси балки, изгибающим моментом в поперечном сечении балки и жесткостью поперечного сечения при изгибе:

Отношение представляет собой кривизну оси балки.

Из курса высшей математики известна зависимость между радиусом кривизны плоской кривой и координатами и у ее точек:

Подставим в выражение (65.7) значение по формуле (16.7):

Первая производная входящая в знаменатель формулы (66.7), представляет собой тангенс угла Ф между осью и касательной к упругой линии. Практически углы Ф весьма малы: они, как правило, менее 0,01 радиана. Поэтому выражение в формуле (66.7) не превышает 1,0001, т. е. практически не отличается от единицы, в связи с чем величиной можно пренебречь.

Тогда уравнение (66.7) примет вид

Как было указано выше, Так как углы О весьма малы, то можно принимать

На рис. 71.7 показан участок изогнутой оси балки. Первая производная этом участке возрастает с увеличением абсциссы х. Следовательно, вторая производная на этом участке положительна. Для того чтобы могла возникать деформация участка показанная на рис. 71.7, необходимо, чтобы изгибающий момент М в сечениях этого участка балки был положителен.

Рис. 71.7

Следовательно, при положительном значении М величина также положительна, а потому перед правой частью формулы будет знак «плюс», т. е.

Уравнение (68.7) называется основным дифференциальным уравнением изогнутой оси балки. Оно является приближенным, так как при его выводе точное выражение кривизны оси заменено приближенным. Кроме того, не учтены деформации балки, связанные с наличием поперечных сил. Определение прогибов и углов поворота поперечных сечений балок, выполненное с учетом влияния поперечных сил, показывает, что в подавляющем большинстве случаев это влияние несущественно и им можно пренебречь.

Проинтегрировав выражение (68.7), получим уравнение углов поворота сечений балки

Интегрируя второй раз, получаем уравнение прогибов (уравнение упругой линии):

Изгибающий момент М, входящий в эти уравнения, является функцией координаты поперечного сечения балки.

Для балки постоянного сечения и, следовательно,

(72.7)

Уравнения (71.7) и (72.7) служат для определения углов поворота и прогибов поперечных сечений балок.

В эти уравнения входят постоянные интегрирования С и D, которые можно определить из граничных условий. Порядок определения линейных и угловых перемещений поперечных сечений балок с помощью уравнений (71.7) и (72.7) рассмотрим на конкретных примерах.

Определим прогибы и углы поворота поперечных сечений балки на двух опорах, нагруженной сплошной равномерно распределенной нагрузкой q (рис. 72.7).

Рис. 72.7

Изгибающий момент в сечении балки с абсциссой х

Подставим это выражение в дифференциальное уравнение упругой линии (68.7):

Проинтегрируем это уравнение дважды:

Для определения постоянных интегрирования С и D используем граничные условия: на концах балки (при ) ее прогибы равны нулю, так как в этих сечениях балка опирается на жесткие шарнирные опоры (см. рис. 72.7). Подставим значения в последнее выражение:

откуда

откуда

Полученные значения подставим в выражения Ф и у:

По этим уравнениям можно определить прогиб у и угол поворота Ф любого поперечного сечения балки. Практическое значение имеет наибольший (по абсолютной величине) прогиб. Для определения абсциссы сечения, в котором возникает такой прогиб, следует приравнять нулю производную т. е. приравнять нулю угол поворота

Решать это уравнение (третьей степени относительно неизвестного в данном случае не является необходимым, так как балка симметрична относительно своей середины (см. рис. 72.7), а потому угол поворота посредине балки равен нулю. Действительно, подставим в последнее уравнение значение

Наибольший (по абсолютной величине) прогиб (посредине балки) найдем, подставив в выражение у значение

Знак «минус» указывает на то, что балка прогибается в сторону отрицательных значений у, т. е. вниз.

Угол поворота сечения на левой опоре получим из выражения приняв в нем

Угол поворота сечения на правой опоре получим, подставив в то же выражение значение

Углы поворота , сечений на левой и правой опорах равны друг другу по величине и обратны по знаку (см. рис. 72.7).

Заметим, что постоянные интегрирования С и D представляют собой углы поворота и прогиб поперечного сечения балки при т. е.

Определим прогибы и углы поворота поперечных сечений балки, заделанной левым концом и нагруженной по всей длине равномерно распределенной нагрузкой а на правом конце сосредоточенной силой Р (рис. 73.7).

Изгибающий момент в сечении балки с абсциссой

Здесь - реактивный (опорный) момент; — вертикальная опорная реакция.

Рис. 73.7

Дифференциальное уравнение (68.7) для данного случая принимает вид

Интегрируем это уравнение дважды:

Постоянные С и D определяются из условий закрепления левого конца балки. Здесь (при ) прогиб и угол поворота сечения равны нулю (см. рис. 73.7). Подставим значение в выражения для и у:

Окончательно уравнения углов поворота и прогиба балки принимают вид:

Наибольший прогиб и наибольший угол поворота возникают на свободном конце балки, т. е. при

В частных случаях: если действует одна - только сила Р, т. е. , то

если действует одна лишь равномерно распределенная нагрузка q, т. е. то

Определим прогибы и углы поворота поперечных сечений балки на двух опорах, нагруженной сосредоточенной силой Р на расстоянии а от левой опоры (рис. 74.7). Балка имеет два участка.

Рис. 74.7

Изгибающие моменты в сечениях участка (т. е. при ) и в сечениях участка (т. е. при ) равны

Так как выражения изгибающих моментов для участков I а II различны, то и уравнения упругой линии на участках различны. Поэтому интегрирование уравнения (68.7) производим раздельно для каждого из участков.

Для участка I уравнение (68.7) принимает вид

интегрируем его дважды:

Для участка II уравнение (68.7) принимает вид

интегрируем это уравнение дважды:

откуда

Здесь применен так называемый прием Клебша, состоящим в следующем: при интегрировании выражение заменяется выражением так как и интегрирование ведется без раскрытия скобок. Таким образом,

В полученные уравнения для углов поворота и прогибов балки входят четыре постоянные. При их определении используем условия для концов балки и для сечения на границе участков На левой опоре (при и на правой опоре (при прогибы равны нулю; в конце участка прогиб и угол поворота сечения равны соответственно прогибу и углу поворота сечения в начале участка II (при (см. рис. 74.7):

Подставляем соответствующие значения в уравнения прогибов и углов поворота:

Из равенств (в) и (г)

Постоянные а таюке и равны друг другу в результате применения приема Клебша при интегрировании дифференциального уравнения упругой линии.

Из равенства (а)

следовательно,

С учетом этого из равенства (б) находим

и, следовательно,

Подставим найденные значения постоянных в уравнения прогибов и углов поворота сечений балки:

Рассмотрим случай, когда сила Р приложена посредине пролета. Упругая линия в этом случае симметрична относительно середины пролета. Подставим в уравнения для и значения

Наибольший прогиб посредине пролета (при )

Угол поворота на левой опоре (при )

На основании выполненных примеров можно установить следующий порядок определения перемещений (при изгибе балок) методом непосредственного интегрирования дифференциального уравнения упругой линии.

1. Для каждого участка балки составляются выражения изгибающих моментов.

2. Выражения изгибающих моментов для каждого участка балки подставляются в основное дифференциальное уравнение изогнутой оси балки (68.7).

3. Определяются общие выражения углов поворота и прогибов сечений для каждого участка балки путем двухкратного интегрирования основного дифференциального уравнения.

4. Определяются постоянные интегрирования из условий на опорах балки и на границах ее участков.

Полученные значения постоянных подставляются в общие выражения углов поворота и прогибов сечений балки.

6. В зависимости от условий задачи вычисляются значения углов поворота и прогибов тех или иных сечений балки. В большинстве случаев определяется наибольший (по абсолютной величине) прогиб или близкий к нему по величине прогиб посредине пролета. В тех случаях, когда требуется построить упругую линию, определяются прогибы ряда сечений.