Примеры расчета

Пример 1.13. (к § 2.13, 3.13 и 4.13). Определить критическую и допускаемую силы для стержня из стали показанного на рис. 12.13, а. Стержень представляет собой равнобокий уголок размером мм. Модуль упругости допускаемое напряжение Моменты инерции: радиусы инерции см;

Решение. Один конец стержня заделан, а другой свободен. Для такого стержня коэффициент приведения длины (см. § 2.13). Главные центральные оси инерции поперечного сечения стержня показаны на рис. 12.13,б. Ось у является осью Поэтому при потере устойчивости стержень будет изгибаться в плоскости т. е. его сечения поворачиваться относительно оси у.

Наибольшая гибкость стержня [см. формулу (12.13)]

Так как гибкость больше 100 (предельной гибкости для стали ), то стержень будет терять устойчивость при напряжениях, меньших предела пропорциональности (см. § 3.13). Поэтому определение критической силы следует производить по формуле Эйлера (11.13):

Допускаемую силу определяем исходя из формулы (21.13):

Здесь коэффициент определен для гибкости по табл. Г. 13 (для стали ) путем интерполяции между значениями 0,32 и 0,29, соответствующими гибкостям 150 и 160.

Следует отметить, что при расчеге сжатых стержней на устойчивость по коэффициентам продольного изгиба коэффициент запаса устойчивости в явном виде в расчете не фигурирует и вычисление критической силы при расчете стержня на устойчивость не нужно.

В рассматриваемом примере, поскольку критическая сила вычислена, можно подсчитать коэффициент запаса устойчивости:

Таким образом, оказывается, что для стали при гибкости таблица коэффициентов предусматривает коэффициент запаса устойчивости

Пример 2.13 (к § 2.13). Как изменится величина критической силы (по Эйлеру): а) если все размеры поперечного сечения стержня увеличатся в раз; б) длина стержня увеличится в раз?

Решение.

а) По формуле Эйлера (11.13) величина критической силы прямо пропорциональна моменту инерции поперечного сечения стержня. Момент же инерции выражается в сантиметрах в четвертой степени линейных размеров поперечного сечения.

Таким образом, увеличение линейных размеров сечения в раз вызывает увеличение момента инерции и критической силы в раз. Например, при увеличении размеров сечения в два раза критическая сила увеличивается в 16 раз.

б) По формуле Эйлера (11.13) величина критической силы обратно пропорциональна квадрату длины стержня. Следовательно, при увеличении длины стержня в раз критическая сила уменьшается в раз.

Пример 3.13 (к § 4.13). Стойка из стали таврового сечения длиной защемлена нижним концом. Верхний ее конец расположен между стенками А и В, допускающими свободное перемещение в плоскости в плоскости верхний конец стойки не может смещаться по горизонтали и поворачиваться (рис. 13.13). Определить допускаемое значение сжимающей силы Р при кгс/см. Размеры поперечного сечения стойки показаны на рис. 13.13.

Рис. 13.13

Решение. Определяем расстояние центра тяжести поперечного сечения от наружной поверхности полки тавра (рис. 14.13):

Рис. 14.13.

Следовательно, центральная ось у проходит в пределах полки тавра (т. е. левее, чем показано на рис. 13.13 и 14.13).

Определяем главные центральные моменты инерции поперечного сечения (относительно осей у и ):

Радиусы инерции поперечного сечения:

Коэффициент приведения длины при потере устойчивости в плоскости (при свободном верхнем конце стойки в этой плоскости) . В плоскости концы стойки поворачиваться не могут, а потому при потере устойчивости в этой плоскости коэффициент приведения длины (см. § 2.13).

Определяем по формуле (12.13) гибкости стойки:

а) при потере устойчивости в плоскости

б) при потере устойчивости в плоскости

Гибкость в плоскости больше, чем в плоскости Следовательно, для стойки опасна потеря устойчивости в плоскости

По табл. 1.13 при для стали находим Пользуясь формулой (21.13), определяем допускаемое значение силы Р:

Пример 4.13 (к § 4.13). Стойка длиной состоящая из двух швеллеров, соединенных приваренными к ним планками (рис. 15.13), сжата силой Р. Концы стоики шарнирно закреплены. Необходимо запроектировать стойку так, чтобы коэффициент запаса ее устойчивости был одинаков независимо от того, в какой из главных плоскостей стойки (в плоскости или в плоскости ) будет происходить потеря устойчивости. Определить при этом допускаемую силу Р и расстояние с в свету между швеллерами. Принять При расчете принять, что планки, соединяющие швеллеры, установлены настолько часто, что можно рассматривать составное сечение как монолитное. Дано: см; см; см (рис. 16.13).

Решение. Гибкость стойки при потере устойчивости в плоскости равна [см. формулу (12.13)]

Здесь так как стойка шарнирно закреплена по концам (см. § 2.13).

Рис. 15.13

Рис. 16.13

Радиус инерции всего стержня (обоих швеллеров) относительно оси z равен радиусу инерции одного швеллера.

При гибкости коэффициент для стали равен 0,584 (см. табл. 1.13). Допускаемое значение силы Р определяем, используя фюрмулу (21.13):

Момент инерции всего сечения стойки относительно оси у (рис. 16.13)

Для того чтобы коэффициент запаса устойчивости при потере ее в плоскости был такой же, как и в плоскости необходимо, чтобы гибкости стойки в плоскостях были одинаковы и, следовательно, чтобы были одинаковы моменты инерции всего сечения стойки относительно осей у и z, т. е.

где — момент инерции одного швеллера относительно оси

Из этого равенства находим

откуда .

Пример 5.13 (к § 5.13). Найти наибольшие нормальные напряжения в стальной балке из швеллера, показанной на рис. 17.13, а. Дано:

Решение. По формуле (11.13) определяем значение эйлеровой силы:

Отношение , т. е. составляет существенную часть от единицы. Следовательно, пренебречь влиянием силы S на прогибы и усилия в балке нельзя, т. е. балку надо рассчитывать по формулам продольно-поперечного изгиба.

Рис. 17.13

По формуле (26.13) определяем прогиб балки под силой Р:

где

По формуле (23.13) находим Мтах:

Определяем нормальные напряжения в точках а и 6 (рис. 17.13, б) поперечного сечения балки под грузом Р по формуле внецентренного сжатия:

(сжатие);

(растяжение).