§ 3.6. ГЛАВНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ И ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ ДЕФОРМАЦИИ ПРИ КРУЧЕНИИ БРУСА КРУГЛОГО ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ

Как уже известно (§ 2.6), в поперечных сечениях бруса при кручении возникают касательные напряжения, которые в каждой точке сечения перпендикулярны к радиусу, соединяющему эту точку с осью бруса; такие же напряжения возникают и в радиальных плоскостях бруса, т. е. в плоскостях, проходящих через его продольную ось (рис. 12.6).

Выделим из бруса элементарный параллелепипед, основание которого расположено на поверхности цилиндра радиусом, а боковые грани расположены в поперечных сечениях бруса (рис. 13.6). По боковым граням этого параллелепипеда действуют только касательные напряжения, показанные на рис. 13.6. По основаниям параллелепипеда ни нормальные, ни касательные напряжения не действуют.

Рис. 12.6

Рис. 13.6

Рис. 14.6

Следовательно, параллелепипед находится в плоском напряженном состоянии чистого сдвига. Боковые грани параллелепипеда являются площадками чистого сдвига, и, следовательно, действующие на них касательные напряжения являются экстремальными.

Для определения напряжений по любым площадкам, перпендикулярным к основанию параллелепипеда, можно использовать формулы плоского напряженного состояния [формулы (6.3) и (7.3)]. Главные напряжения при чистом сдвиге, как известно, равны по величине экстремальным касательным напряжениям и, следовательно, равны касательным напряжениям по боковым граням параллелепипеда, расположенным в поперечных сечениях бруса.

Главные площадки наклонены под углом 45° к площадкам чистого сдвига (см. рис. 13.6).

Наибольшие по величине экстремальные касательные и главные напряжения действуют в окрестностях точек, расположенных в непосредственной близости от внешней поверхности бруса. Эти напряжения можно определить по формуле

Экспериментальные данные свидетельствуют о правильности сделанных выводов. Так, например, скручиваемый деревянный стержень разрушается, скалываясь вдоль волокон (рис. 14.6), что свидетельствует о наличии касательных напряжений в его продольных (радиальных) плоскостях.

Скручиваемый чугунный стержень разрушается от действия главных растягивающих напряжений по винтовой поверхности, наклоненной к оси стержня под углом 45°. Этот результат согласуется с указанным выше положением главных площадок.

Определим теперь потенциальную энергию U деформации при кручении. Рассмотрим брус длиной l постоянной жесткости изображенный на рис. 6.6; во всех поперечных сечениях бруса действует постоянный крутящий момент УИК Угол поворота правого конца бруса равен полному углу его закручивания [см. формулу (13.6)]:

Работа внешнего статически нарастающего момента ЭЛ равна половине произведения конечного значения этого момента на угол поворота свободного конца бруса [см. формулу (21.2)], т. е.

Эта формула верна при любом характере закрепления бруса.

На основании закона сохранения энергии и, следовательно,

В случае бруса переменной жесткости или переменного значения момента по длине бруса потенциальная энергия деформации