§ 14.7. ПОНЯТИЕ О БАЛКАХ РАЗНОРОДНОЙ УПРУГОСТИ

Рассмотрим балку разнородной упругости, у которой отдельные группы продольных волокон имеют различные модули упругости, например железобетонную балку. В каждом поперечном сечении железобетонной балки часть площади принадлежит бетону, имеющему один модуль упругости, а часть — металлу, имеющему другой модуль упругости. В общем случае поперечное сечение может состоять из любого числа участков, различающихся по модулю упругости материала.

Расчет брусьев, работающих на растяжение (сжатие) и состоящих из материалов, имеющих различные модули упругости, рассмотрен в § 9.2 и в примере 13.2. Установлено, что расчет бруса разнородной упругости можно заменить расчетом бруса однородной упругости с площадью поперечного сечения, приведенной к одному материалу (к одному модулю упругости ). Приведенная площадь поперечного сечения бруса определяется по формуле

Здесь - площадь поперечного сечения, соответствующая материалу к которому приводится все сечение (рис. 66.7); - площади поперечного сечения, соответствующие материалам - модули упругости материалов ; — количество различных материалов, составляющих сечение бруса.

Нормальные напряжения в поперечных сечениях растянутого (или сжатого) бруса разнородной упругости в материале с модулем упругости определяются выражением

Таким образом, при расчете растянутых (или сжатых) брусьев разнородной упругости каждая единица площади поперечного сечения, принадлежащая материалу, рассматривается как единиц площади материала 0 (к которому приводится все сечение).

Рис. 66.7.

Аналогично производится расчет брусьев разнородной упругости при изгибе. В этом случае геометрические характеристики сечений (их площади, статические моменты и моменты инерции), так же как и в случае центрального сжатия, приводятся к одному материалу. При вычислении геометрических характеристик величина площади поперечного сечения, принадлежащей каждому материалу, умножается на коэффициент, равный отношению модуля упругости этого материала к модулю упругости того материала, к которому приводится все сечение. При этом положение каждой частицы площади поперечного сечения остается неизменным, независимо от того, больше, меньше единицы или равен ей указанный коэффициент.

Таким образом, выражения геометрических характеристик в случае бруса разнородной упругости имеют вид:

Здесь - модуль упругости материала, соответствующий элементарной площадке поперечного сечения бруса; — модуль упругости материала, к которому приводится сечение; — координаты элементарной площадки.

Формулы, выражающие зависимости между геометрическими характеристиками относительно различных осей, полученные в главе 5 для сечений брусьев из материала однородной упругости, действительны и для брусьев разнородной упругости, но относятся в этом случае к приведенным сечениям, а не фактическим. Так, например, формула (25.5) изменения осевых моментов инерции при параллельном переносе осей принимает для бруса разнородной упругости вид

условие равенства нулю центробежного момента инерции сечения относительно главных осей принимает вид

При изгибе бруса разнородной упругости нормальные и касательные напряжения в его поперечных сечениях определяются по следующим формулам [аналогичным формулам (17.7) и (28.7)]:

Здесь - приведенная ширина бруса в уровне, в котором определяются касательные напряжения.

Определим в качестве примера напряжения в поперечном сечении балки разнородной упругости (рис. 67.7, а), в котором действуют изгибающий момент и поперечная сила Поперечное сечение балки состоит из стальной части в форме тавра и из двух медных частей в виде прямоугольников кгс/см. При расчете будем приводить заданное сечение к стальному.

Рис. 67.7

Определяем расстояние а от центра тяжести приведенного сечения до оси

Определяем момент инерции приведенного сечения относительно оси , проходящей через центр тяжести этого сечения, т. е. относительно его нейтральной оси (рис. 67.6, б):

Определяем приведенный статический момент (относительно нейтральной оси) части сечения балки, расположенной ниже оси :

Приведенная ширина балки на уровне нейтральной оси (оси )

По формуле (63.7) определяем абсолютные значения нормальных напряжений в поперечном сечении (рис. 67.7, в) на уровне

на уровне

на уровне

Нормальные напряжения в верхней части балки отрицательны (сжатие), а в нижней положительны (растяжение), так как в сечении действует положительный изгибающий момент. Эпюры нормальных напряжений для стальной и медной частей сечения балки изображены на рис. 67.7, г, д.

Касательные напряжения на уровне (на уровне нейтральной оси) определяем по формуле (64.7):