§ 7.3. ОБОБЩЕННЫЙ ЗАКОН ГУКА

Формулы относительных деформаций бруса, полученные выше для случая его центрального растяжения или сжатия, можно обобщить на случай трехосного (пространственного) напряженного состояния. Для этого выделим из тела элементарный параллелепипед (с бесконечно малыми размерами ребер), грани которого совпадают с главными площадками (рис. 15.3).

Рис. 15.3

Обозначим нормальные напряжения на главных площадках (т. е. главные напряжения), а и -относительные деформации ребер параллелепипеда, параллельных этим напряжениям.

Значения определим на основании принципа независимости действия сил, последовательно рассматривая влияние напряжений

В результате воздействия напряжений относительные деформации равны [см. формулы (11.2) и (14.2)]

Первый индекс при указывает направление относительной деформации, а второй — причину деформации. Так, например, является относительной деформацией в направлении напряжения вызванной напряжением

Аналогично от воздействия напряжений получаем

Относительные деформации, вызванные одновременным воздействием напряжений равны

После замены относительных деформаций и т. д. их выражениями последние формулы примут вид

Аналогичные формулы можно получить и для случаев, когда грани элементарного параллелепипеда не совпадают с главными площадками (т. е. когда по этим граням, кроме нормальных напряжений, действуют также и касательные). Это является следствием того, что касательные напряжения не вызывают удлинений ребер параллелепипеда, а вызывают лишь изменения прямых углов между его гранями. Для указанных случаев формулы имеют вид

где — нормальные напряжения, действующие по боковым граням элементарного параллелепипеда (в общем случае не совпадающим с главными площадками), а относительные деформации его ребер.

Выражения (26.3) и (27.3), устанавливающие связь между деформациями и напряжениями при пространственном напряженном состоянии, носят название обобщенного закона Гука. Они применимы при напряжениях, не превышающих предела пропорциональности материала.