§ 5.14. КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ

Рассмотрим упругую балку, изображенную на рис. 15.14. Выведем ее из положения статического равновесия, например, в крайнее нижнее положение, показанное на рис. 15.14, приложив некоторую вертикальную силу; затем мгновенно удалим эту силу. Под действием сил упругости балка переместится вверх, пройдет по инерции через положение статического равновесия и в некоторый момент Времени достигнет крайнего верхнего положения. Затем балка переместится в крайнее нижнее положение, снова в крайнее верхнее и т.д. Подобные колебательные движения упругой системы с переходом ее от одного крайнего положения к другому, происходящие при отсутствии переменных внешних сил, называются бодными или собственными колебаниями. В отличие от них вынужденными колебаниями называются колебания систем, происходящие при действии на нее переменных внешних (возмущающих) сил.

Рис. 15.14

В любой момент времени на каждую частицу колеблющейся балки действуют сила ее тяжести (веса), силы упругости (со стороны соседних частиц) и, согласно принципу Даламбера, силы ее инерции.

Сила инерции в каждый момент времени в процессе колебаний направлена от положения данной частицы при статическом равновесии к положению, занимаемому ею в рассматриваемый момент. Так, например, когда балка находится между положением статического равновесия и крайним нижним положением, силы инерции направлены сверху вниз.

Рассмотрим теперь упругую балку, к которой в одном сечении прикреплен груз Я, во много раз превышающий вес балки (рис. 16.14, я); в связи с этим массой балки при расчете будем пренебрегать, т. е. будем рассматривать балку как невесомую.

Если известен прогиб какого-либо одного поперечного сечения рассматриваемой балки в некоторый момент времени, то по нему можно определить прогибы всех сечений балки.

Таким образом, положение любого сечения в данный момент времени определяется одним параметром, например прогибом какого-либо одного сечения рассматриваемой балки. Следовательно, эта балка (рис. 16.14, а) представляет собой систему с одной степенью свободы. К системам с одной степенью свободы относятся также системы, показанные на рис. 16.14, б, в, г.

Рис. 16.14

Рис. 17.14

Балки, изображенные на рис. 17.14, а, б, являются системами с двумя степенями свободы, так как для определения положения любого сечения необходимо знать два параметра, например прогибы двух поперечных сечений балки. Система, показанная на рис. 17.14, в, имеет три степени свободы.

Рассмотрим свободные колебания системы с одной степенью свободы, например невесомой балки с прикрепленным к ней грузом, вес которого Р (рис. 18.14).

На основании принципа Даламбера можно считать, что в любой момент времени на балку со стороны груза действует сила она вызывает прогиб балки (рис. 18.14) . Прогибы балки и силы принимаем положительными, когда они направлены вниз.

Прогиб Д, отсчитываемый от положения статического равновесия, равен

(37.14)

где — сила инерции груза в рассматриваемый момент времени; — прогиб балки под грузом от силы Р— 1.

Рис. 18.14

Сила инерции тела, как известно, равна произведению его массы на ускорение а и направлена в сторону, противоположную ускорению. Следовательно,

(38.14)

Знак минус взят потому, что, когда производная положительна (и, следовательно, ускорение груза направлено вниз), сила инерции направлена вверх, т. е. отрицательна.

Подставим в формулу (38.14) выражение [на основании формулы

Уравнение (39.14) представляет собой дифференциальное уравнение свободных колебаний системы с одной степенью свободы. Общий интеграл этого уравнения имеет вид

(40.14)

где

(41.14)

В уравнении (40.14) А и В — постоянные интегрирования. Это уравнение называется уравнением свободных (собственных) колебаний системы.

Из уравнения (40.14) следует, что значения прогибов повторяются через каждый промежуток времени, за который произведение возрастает на т. е. через каждые . Следовательно, система за сек совершает одно колебание, а за колебаний циклов).

Величина представляет собой число свободных колебаний, совершаемых системой за сек, называемое частотой свободных колебаний

Промежуток времени Т, за который система совершает одно свободное колебание, называется периодом свободных колебаний. Величина периода

(42.14)

Период колебаний Т выражается в секундах, а частота — в 1/сек.

Из уравнения (40.14) легко можно установить величины (см. рис. 18.14) наибольших и наименьших прогибов (перемещений) системы в месте приложения груза Р, соответствующих значениям

(43.14)

Наибольший прогиб (перемещение) А (от положения статического равновесия) называется амплитудой колебаний.

Если в системе координат , t по оси абсцисс откладывать время t, а по оси ординат — прогибы (перемещения) груза Р, то построенный в соответствии с уравнением (40.14) график (график колебаний) будет иметь вид, изображенный на рис. 19.14.

Рис. 19.14

На этом графике показаны амплитуды колебаний А и период колебаний Т.

Выражения скоростей v и ускорений а груза Р имеют вид:

(44.14)

Составим выражение прогибов при колебаниях невесомой балки с грузом Р, прикрепленным к ней по середине (рис. 20.14, а), вызванных тем, что груз был оттянут вниз на величину с (от положения статического равновесия) и затем в момент времени отпущен. Следовательно, при прогиб а скорость движения груза В соответствии с этим по формулам (40! 14) и (44.14) при

Из второго уравнения следует (так как величины не равны нулю); а из первого получаем

Таким образом, уравнение прогибов (40.14) для рассматриваемого случая имеет вид

(46.14)

График колебаний для рассматриваемого случая показан на рис. 20.14, б. Наибольший прогиб (от положения статического равновесия) Дтач равен с (при и т. д.). Следовательно, амплитуда колебаний равна с.

Рис. 20.14

Частота со колебаний балки в выражении (46.14) [см. формулу (41.14)

где — прогиб балки под грузом от силы равный

Наибольший полный прогиб балки под грузом

Определим теперь наибольшие полные нормальные напряжения, возникающие в рассматриваемой балке при колебаниях. Очевидно, что наибольшие напряжения возникают в тот момент времени, когда балка под грузом имеет наибольший прогиб . В этот момент на балку действует сила где представляет собой наибольшее значение силы инерции Р, - груза Р, равное [на основании выражения (37.14)]

Следовательно,

Наибольший изгибающий момент действует в сечении посередине балки:

Следовательно, наибольшие полные нормальные напряжения в балке

где - момент сопротивления поперечного сечения балки.

Рассмотрим теперь колебания невесомой системы с прикрепленным к ней грузом Р, вызванные действием внешней возмущающей силы 5 (рис. 21.14), т. е. вынужденные колебания системы. Предположим, что внешняя сила приложена к системе в том же сечении, в котором прикреплен груз Р, и что величина ее изменяется по периодическому закону

(47.14)

где S — наибольшее значение возмущающей силы; — частота этой силы (круговая частота), равная числу циклов за сек.

Рис. 21.14

Прогиб А системы (от положения статического равновесия) в любой момент времени является результатом действия на нее силы инерции и возмущающей силы

откуда

С другой стороны, на основании формулы (38.14)

и, следовательно,

откуда

(48.14)

где - частота свободных колебаний системы [см. формулу (41.14)].

Уравнение (48.14) представляет собой дифференциальное уравнение вынужденных колебаний системы с одной степенью свободы.

Общий интеграл этого уравнения имеет вид

(49.14)

Уравнение (49.14) называется уравнением вынужденных колебаний системы.

Рис. 22.14.

Первый член правой части формулы (49.14) определяет свободные колебания системы, а второй — характеризует вынужденные колебания. Вынужденные колебания имеют ту же частоту, что и возмущающая сила. Амплитуда свободных колебаний равна А, а амплитуда вынужденных колебаний равна наибольшему значению выражения

т. е.

Но

следовательно,

или

(51.14)

здесь — статический прогиб системы по направлению силы S от действия этой силы; - динамический коэффициент, равный

(52.14)

Для определения динамических напряжений в упругой системе, вызванных ее вынужденными колебаниями, следует найти напряжения от статически действующей силы S и умножить их на динамический коэффициент. Прибавив к динамическим напряжениям напряжения от статически действующей силы Р, получим значения полных напряжений в упругой системе.

Рассмотрим невесомую балку, к которой прикреплен двигатель весом Р (рис. 22.14). Балка под действием этого груза находится в состоянии статического равновесия. В некоторый момент времени включается двигатель, имеющий неуравновешенную массу , вращающуюся с угловой скоростью (или, что то же самое, с частотой ) по окружности радиусом (рис. 22.14).

В результате этого на балку действует возмущающая сила , равная [см. формулу (5.14)]

Ее вертикальная составляющая, вызывающая изгиб балки, равна где а — угол между направлением силы 5 и вертикалью в момент времени t. Если неуравновешенная масса при включении двигателя занимает крайнее нижнее положение, то угол а в момент времени t равен и, следовательно, т. е. возмущающая сила, вызывающая изгиб балки, изменяется по формуле (47.14).

Принимая момент включения двигателя за начало отсчета времени, получаем, что при прогиб балки (дополнительный к статическому прогибу от груза Р) и скорость перемещения груза — Тогда на основании формулы (49.14) при откуда

откуда и, следовательно,

Подставим значения А и В в формулу

где — вынужденные колебания балки, а - свободные колебания.

В данном случае т. е. амплитуды свободных и вынужденных колебаний в рассматриваемом случае равны друг другу. В других случаях (например, когда в момент пуска двигателя, т. е. при балка в сечении под грузом Р оттянута вниз на некоторую величину) соотношения между этими амплитудами могут быть иными. Однако в любом случае амплитуда собственных (свободных) колебаний при наличии возмущающей нагрузки зависит от величины и частоты этой нагрузки.

На рис. 23.14, а изображен график вынужденных колебаний рассматриваемой балки; здесь по оси абсцисс отложено время а по оси ординат — значения перемещений:

где — амплитуда вынужденных колебаний балки (точки оси балки, расположенной под грузом Р).

(см. скан)

Рис. 23.14

На рис. 23.14, б изображен график свободных колебаний балки, по оси абсцисс которого отложено (в том же масштабе, что и на рис. 23.14, а) время а по оси ординат — значения перемещений При этом принято [частота свободных колебаний со определяется по формуле (41.14)].

На рис. 23.14, в дан график общих колебаний рассматриваемой балки, показывающий изменение прогибов А в зависимости от времени t. Его ординаты в соответствии с выражением (54.14) равны разностям ординат изображенных на рис. 23.14, а, б. На этом графике видно, что амплитуды колебаний периодически нарастают и убывают. Такое явление называется биением.

Ложно показать, что кривые, проведенные на рис. 23.14, в пунктиром, огибающие график общих колебаний рассматриваемой балки, представляют собой синусоиды, ординаты которых равны Следовательно, наибольшая возможная амплитуда общих колебаний равна амплитуда общих колебаний не может быть больше суммы амплитуд вынужденных и свободных колебаний.

Из выражения (51.14) следует, что амплитуда вынужденных колебаний системы с одной степенью свободы равна прогибу умноженному на динамический коэффициент Величина последнего, как это следует из формулы (52.14), зависит от отношения Ф/со — частоты возмущающей силы к частоте со собственных колебаний системы.

На рис. 24.14 графически показана зависимость величины динамического коэффициента от соотношения частот На этом рисунке видно, что, когда частота мала по сравнению с частотой о (например, не превышает ), динамический коэффициент примерно равен единице (не превышает 1,1). При увеличении частоты величина динамического коэффициента возрастает; особенно резкое возрастание происходит, когда отношение приближается к единице. При динамический коэффициент равен бесконечности. Следовательно, когда величина частоты возмущающей силы приближается к значению со частоты собственных колебаний системы, амплитуды колебаний начинают неограниченно возрастать. Этот случай, называемый резонансом, представляет особую опасность для сооружения.

При частоте возмущающей силы, превышающей собственную частоту со, динамический коэффициент отрицателен. Это означает, что знак возмущающей силы в каждый момент времени противоположен знаку перемещения; например, в момент, когда сила положительна, т. е. направлена вниз, прогиб сечения, в котором она приложена, отрицателен, т. е. направлен вверх.

В этом случае величина амплитуды вынужденных колебаний определяется путем умножения абсолютного значения динамического коэффициента на При весьма большой частоте возмущающей нагрузки (по сравнению с частотой ) динамический коэффициент очень мал (близок к нулю); в этом случае возмущающая сила практически не вызывает колебаний системы.

Рис. 24.14

Выше при рассмотрении колебаний не учитывались сопротивление среды, в которой совершаются колебания (например, сопротивление воздуха), трение в опорных частях системы, внутреннее сопротивление, связанное с тем, что материал не обладает идеальной упругостью, и другие сопротивления. Решения, полученные без учета сопротивлений, являются приближенными.

Наличие сопротивлений приводит к постепенному уменьшению амплитуды собственных (свободных) колебаний системы — колебания постепенно затухают. Период собственных колебаний при наличии сопротивлений больше, а частота колебаний меньше, нем при отсутствии сопротивлений.

На рис. 25.14 графически показаны свободные колебания при наличии и при отсутствии сопротивлений. При наличии сопротивлений после некоторого промежутка времени собственные колебания полностью затухают и система останавливается в положении статического равновесия.

При весьма больших сопротивлениях (например, при колебаниях в вязкой жидкости) движение системы, выведенной из состояния равновесия, вообще не носит колебательного характера; система в этом случае плавно возвращается в состояние статического равновесия.

При действии на систему периодической возмущающей нагрузки вызванные ею собственные колебания через некоторое время в связи с наличием сопротивлений прекращаются и система в дальнейшем испытывает только вынужденные колебания. Амплитуду этих колебаний при наличии сопротивлений (так же как и при отсутствии сопротивлений) можно выразить формулой (51.14), однако в этом случае динамический коэффициент отличается от определяемого по формуле (52.14).

Рис. 25.14

Обычно силы сопротивления R, действующие на систему в каждый момент времени, принимаются прямо пропорциональными скорости перемещения системы (при колебаниях) в этот момент, т. е.

(55.14)

где — коэффициент пропорциональности [выражается в кгс•сек/см]. Знак минус указывает на то, что сила сопротивления направлена обратно скорости перемещения.

При силах сопротивления, определяемых формулой (55.14), динамический коэффициент

(56.14)

Здесь — частота возмущающей нагрузки (силы); со — частота собственных колебаний системы (при отсутствии сопротивлений); Р — вес колеблющегося груза; g — ускорение силы тяжести.

Рис. 26.14

На рис. 26.14 для различных значений по формуле (56.14) построены кривые, выражающие зависимость от отношения частот Кривая для случая т. е. для случая отсутствия сопротивлений, совпадает с кривой, приведенной на рис. 24.14, так как при отсутствии сопротивлений (т. е. при ) формула (56.14) переходит в формулу (52.14). Остальные кривые имеют такой же характер, но их ординаты при резонансе (т. е. при не равны бесконечности, а имеют конечные значения, равные При частоте возмущающей нагрузки, значительно (например, в два раза и более) отличающейся от частоты со, величина практически не зависит от наличия сопротивлений.

Рис. 27.14

При расчете сооружений, находящихся под действием периодически изменяющихся возмущающих сил, основной задачей в большинстве случаев является так называемая отстройка от резонанса, т. е. обеспечение достаточного различия между частотой собственных колебаний и частотой возмущающей нагрузки.

Обычно исходят из требования, чтобы . В некоторых машинах допускают , т. е. машины в процессе разгона проходят через резонанс.

Расчет сооружения на вынужденные колебания, по существу, является его расчетом на жесткость, так как частота со собственных колебаний системы зависит от ее жесткости.

Любое сооружение является системой с бесконечно большим числом степеней свободы, так как его распределенный вес представляет собой бесчисленное множество бесконечно малых сосредоточенных сил. Однако приближенный расчет сооружения, даже в случае, когда нельзя пренебречь его весом, можно выполнить как расчет системы с одной степенью свободы. Для этого вес Q сооружения, распределенный по его длине, заменяют весом PQ, сосредоточенным в некоторой точке. При вынужденных колебаниях эта точка принимается совпадающей с местом приложения возмущающей нагрузки.

При расчете простой балки на двух опорах на собственные колебания сосредоточенный вес PQ принимается расположенным в середине пролета, а при расчете консолина свободном ее конце (рис. 27.14). Коэффициент определяется по формуле (28.14); примеры такого определения приведены в конце § 3.14.