Научная библиотека

§ 8.3. ОБЪЕМНАЯ ДЕФОРМАЦИЯ

Под действием внешней нагрузки упругое тело деформируется, его объем изменяется, и в нем накапливается потенциальная энергия. В процессе разгружения тела потенциальная энергия проявляется в виде работы, совершаемой внутренними силами. В общем случае, когда напряженное состояние в различных точках тела различно, для определения изменения его объема и количества накопленной им потенциальной энергии необходимо знать изменение объема и количество энергии в каждой элементарной частице тела.

Выделим в окрестности некоторой точки тела до его деформации элементарный параллелепипед с ребрами так, чтобы его грани совпадали с главными площадками (рис. 15.3).

Первоначальный объем параллелепипеда . В общем случае трехосного напряженного состояния после деформации длины всех ребер параллелепипеда изменяются и становятся равными

где - относительные деформации ребер параллелепипеда (в направлениях главных напряжений), определяемые по формулам (26.3).

Объем элементарного параллелепипеда после его деформации

Здесь — приращение объема элементарного параллелепипеда.

Так как величины весьма малы, то их произведениями можно пренебречь. Тогда

откуда

Отношение величины к первоначальному объему параллелепипеда обозначается 0 и называется относительным изменением объема:

Относительное изменение объема выражается в отвлеченных величинах (безразмерная величина). Подставив в выражение (28.3) значения по формулам (26.3), после преобразования получим

В формулу (29.3) входит сумма главных нормальных напряжений Вместо этой суммы сюда можно подставить сумму [см. формулу (24 3)]:

Правая часть формулы (30.3) равна сумме относительных деформаций [это следует из выражений (27.3)]. Поэтому формулу (30.3) можно представить в виде

Зная относительное изменение объема тела в каждой его точке, можно вычислить объемную деформацию (т. е. изменение объема) всего тела:

В частном случае пространственного напряженного состояния, когда (такой случай называется пространственным равномерным растяжением), на основании формулы (29.3) относительное изменение объема

Совершенно очевидно, что объем кубика, находящегося в условиях пространственного равномерного растяжения, не может уменьшаться, т. е. 0 в этом случае не может быть отрицательным; следовательно [на основании зависимости (33.3)], коэффициент Пуассона для любых материалов не может быть больше 0,5.

Полученные здесь формулы действительны для напряжений, не превышающих предела пропорциональности материала.